2017 Fiscal Year Research-status Report
非線形波動方程式における幾何学的対称性と解の特異性の解析
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16K17624
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
岡本 葵 信州大学, 学術研究院工学系, 助教 (40735148)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 初期値問題 / 散乱 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究では、次の２つの成果を得た。１つ目は、短パルス方程式における小さな初期値に対する初期値問題の解の修正散乱に関する結果である。短パルス方程式は、オストロフスキー方程式よりも分散性が弱いモデルであり、完全可積分系であることが知られている。また、時空間の変数変換を施すことにより、クライン・ゴルドン方程式に帰着される。波束テスト法を用いることで、短パルス方程式の初期値問題の解の減衰が悪くなる部分を抜き出すことに成功し、解の漸近挙動が線形解の挙動とは異なるといういわゆる修正散乱を既存の結果よりも広い初期値のクラスに対して証明した。２つ目は、ポテンシャルを持つディラック方程式に対するストリッカーツ評価式に関する結果である。零固有値を持たず、磁場ポテンシャルが小さく、角度方向の正則性を持つという仮定のもと、ディラック方程式のストリッカーツ評価式が成立することを示した。特に、擬スカラーポテンシャルには小ささを要求しておらず、ポテンシャル自体としては大きなものも許される。また、ストリッカーツ評価式を用いて、3次の非線形項を持つ非線形ディラック方程式の小さな初期値に対する初期値問題の時間大域的適切性及び解の散乱を示した。さらに、ポテンシャルに付加条件を課すことにより、初期値のカイラル成分のみが小さければ、初期値が大きくても解の散乱が得られることを証明した（D'Ancona氏（ローマ大学）との共同研究）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
短パルス方程式に対して、小さな初期値に対してではあるが、時間大域的可解性に加え、解の修正散乱を得ることができた。加えて、ディラック方程式に対して、線形問題だけではなく、非線形問題に対しても重要な役割を果たすストリッカーツ評価式が得られ、順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度課題としていた空間１次元ディラック・クライン・ゴルドン方程式の初期値問題の非適切性について結論を得ることができなかったので、今後も引き続き取り組む。
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