2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K17625
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
若杉 勇太 広島大学, 工学研究科, 准教授 (20771140)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 消散型波動方程式 / 臨界指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 変数係数で空間遠方で増大あるいは減衰する拡散係数をもつ放物型方程式に対し，係数の空間遠方のプロファイルから決まる自己相似解を用いて優解の構成を行った．さらにこの優解を重み関数とするエネルギー法により，放物型方程式の解の最良な重み付きL2型評価を導出した．もう一つの応用として，空間変数に依存する摩擦項をもつ波動方程式に対し，上記の優解を重み関数としたエネルギー法を適用することで，空間遠方で多項式オーダーで減衰する初期値に対し，その減衰度に応じた最良なエネルギー評価を与えた（側島基宏氏との共同研究，国際誌に投稿中）．
(2) 時間変数係数をもつ消散型梁方程式に対し，係数のオーダーにより解挙動の分類の予想を行い，対応する2階および4階の放物型方程式に漸近する場合に予想が正しいことを証明した（吉川周二氏との共同研究，国際誌に投稿中）．
(3) FLRW(Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker）計量をもつ非線形波動方程式に対し，時空の膨張・収縮を表すパラメータを用いて臨界指数を予想し，劣臨界の場合の解の有限時間爆発の証明を与えた（津田谷公利氏との共同研究，国際誌に投稿中）．
(4) 空間1次元の定数係数非線形消散型波動方程式に対し，臨界の場合の重み付きL2空間における時間大域解の存在を証明した（側島基宏氏との共同研究，国際誌に投稿中）．
(5) 分数階のラプラシアンを持つ時間2階の発展方程式に対し，線形解の漸近挙動を求め，非線形問題の臨界指数問題を考察した．優臨界の場合に小さい初期値に対する時間大域解の存在を証明した（藤原和将氏，池田正弘氏との共同研究，国際誌に投稿中）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間変数係数をもつ消散型波動方程式に対しては，対応する放物型方程式の優解を構成し用いる方法で最良なエネルギー評価を得ることができた．これは当該分野の大きな進展である．
非線形問題については，変数係数をもつ方程式に対し解の漸近挙動や，有限時間爆発を解析する手法を進展させることができた．
よっておおむね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策として，まずは，空間変数係数をもつ消散型波動方程式の初期値境界値問題に対し，解の高次漸近展開を解析する手法を確立する．解の第1次漸近形についてはこれまでの研究で得られているので，解と第1次漸近形の差の時間積分で与えられる関数を考察し，その関数がみたす微分方程式を求め，さらに重み付きエネルギー法を適用することで，第2次漸近形の導出およびその評価を行う．その後は順次漸近形を導出するアルゴリズムを定式化することで，一般の次数の漸近形について議論する．
次に，非線形問題については，解の漸近挙動および，初期値に小ささを仮定しない場合の大域挙動について考察を行う．現在のところ，定数係数の線形消散型波動方程式に対する解のプロファイル分解が証明できているので，これをもとに，凝集コンパクト性の議論から解の大域挙動の解析を行う．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大の影響により，予定していた研究集会や研究打ち合わせの予定をキャンセルしたことに伴い次年度使用額が生じた．次年度使用額については，前年度で延期とした研究集会への参加および研究打ち合わせに用いる．なお本研究課題について翌年度分として請求した助成金はない．
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