2017 Fiscal Year Research-status Report
非線形分散型波動方程式における共鳴相互作用の構造と解の挙動・特異性の研究
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16K17626
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線形分散型方程式 / 初期値問題 / 周期境界条件 / 共鳴相互作用 / 非線形平滑化効果 / 非適切性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では種々の非線形分散型方程式について，周期境界条件を課した場合などに生じる共鳴相互作用（線形発展に伴う時間振動が相殺されるような非線形相互作用）の解析を通して解の性質を調べることを目的としている．平成29年度は，光ファイバー内の信号伝播のモデルとされる，高階の分散項による摂動を加えた微分型非線形シュレディンガー方程式に関して，堤誉志雄氏（京都大学）との共同研究により以下の興味深い結果を得た．
前年度までの回転を伴った流体の方程式に関する研究においては，平滑化が期待できない共鳴相互作用の影響が相対的に小さいことを如何に示すかがポイントであった．これに対し，上記の方程式は周期条件の下で考えると逆に共鳴相互作用が支配的となり，実際に非共鳴相互作用を取り除いたコーシー・リーマン型方程式に近い性質（有限回の微分可能性しか持たない初期値に対する非適切性や，実解析的な初期値に対する局所解の一意存在など）を持つことがわかった．これは分散型方程式に対して通常期待される性質とは異なるものであり，加えて非周期条件下では起こらない現象である．共鳴構造がシンプルなこの問題においては，非共鳴相互作用の影響を精密に評価することが主なタスクであり，ノーマルフォームの手法を用いて内在する平滑化効果を最大限引き出すことによりこれを達成した．
研究課題に関連して，国内の若手研究者に加え海外から第一線で活躍する研究者を招聘して合宿形式の研究集会を開催した．異なる分野の研究に対する理解を深め，討論を通して自身の研究との相互作用の可能性を模索する貴重な機会となった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在までに，共鳴相互作用の影響が小さい場合（回転流体方程式に関する研究）および本質的な場合（微分型非線形シュレディンガー方程式に関する研究）の双方に対して成果が得られており，共鳴相互作用の解析という観点から解の性質を調べるという本研究課題の目標を扱いやすい問題に対しては順調に達成していると同時に，性質の異なる共鳴・非共鳴の両方の相互作用の評価に習熟してきている．
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| Strategy for Future Research Activity |
交付申請書に記載した問題はいずれも解決すべき重要なもので，今後も引き続きそれらに取り組む計画である．それ以外では，今年度扱った微分型非線形シュレディンガー方程式に関して，実解析的な初期値に対する解の存在時間と共鳴相互作用との関係に興味を持っている．また，概周期関数を初期値とする問題についても，周期関数と類似のフーリエ級数を用いた波数間相互作用の解析がある程度可能と考えられるので，周期関数の場合と同様の性質がどの程度まで成り立つのかを解明していきたい．
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| Causes of Carryover |
予定していた物品購入が不要になり，なおかつ予定していた研究者招へいを取りやめたため．当該研究のための海外渡航費もしくは研究者招へい旅費として活用する．
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