2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K17628
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 自由境界問題 / 過剰決定問題 / 発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き，Bernoulli問題とよばれる円環状領域上の自由境界問題に対し発展方程式的手法による解析を行った．特に，本研究で提示された発展方程式手法とNash-Moserの陰関数定理との比較を抽象的な非線型関数解析的立場から考察し，その特徴を見出すことに成功した．この手法の応用として，Bernoulli問題の双曲型解の局所的構成，すなわち，与えられた一つの双曲型の近傍に双曲型解の単調縮小族が存在することを証明することに成功した．また，得られた抽象的枠組みは他の類似する問題へと応用できる可能性が高い．
一方，本研究課題の目標である一点へと縮小する双曲型解の族の構成については，上記の局所的構成のみならず，大域的構成が必要であり，そのために必要であると思われる発展方程式の力学系的考察を行った．領域が円環である場合の具体的に構成される双曲型球対称解における線型化作用素のスペクトルを具体的に計算し，対応する固有関数をすべて求めた．スペクトルの分布から双曲型解が変分構造のみならず，発展方程式の解としても不安定であることが判明した．
しかし，それを用いて一般の領域に対しても双曲型解の縮小族が存在するかどうかについては非常に難しい問題であり，楕円を用いた近似解の構成に際しては，Antoine Henrot教授（Institut Elie Cartan）とともに幾つかの数値実験を行った．しかし得られた結果は理論的な証明に結びつけるのには不十分であった．これは楕円として十分な近似解を得るのが難しいことを示唆している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画にある双曲型解の単調縮小族の構成には到達していないものの，発展方程式手法の抽象的枠組みにおける理解を深めることに成功している．これは他の問題への応用を考えた場合に非常に有益なものであり，Bernoulli問題以外の関連する研究に対しても大きな影響を与えるものであると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画にしたがって，Bernoulli問題の双曲型解の単調縮小族の構成を目標とする．
目標達成のために必要な大域的な解の考察に関しては，Antoine Henrot教授（Institut Elie Cartan）と議論を深める．
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| Causes of Carryover |
計画のBernoulli問題の双曲型解の構成において当初予想していなかった困難さが現れたため，その先に予定していた情報収集や双曲型解の定性的性質のAntoine Henrot教授（Institut Elie Cartan）やRolando Magnanini教授（University of Florence）との議論を次年度以降に先延ばししたため．
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