2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K17628
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 自由境界問題 / 過剰決定問題 / 発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Bernoulli問題とよばれる円環状領域上のパラメーター付き自由境界問題は，その「正則性の損失」が起こる構造から古典的な陰関数定理による解，すなわち自由境界の構成は困難であり，Nash-Moserの陰関数定理が必要となる．一方，本研究では陰関数定理の代用として対応する非線型発展方程式を解くことで解を構成する手法を導入した．特に，この発展方程式手法による構成は初期値と同じ空間内で連続的に変化する解を構成することを可能にするため，大域的な解析へと発展することが可能である．
昨年度の研究ではBernoulli問題に不安定解として現れる双曲型解の大域的な安定性について研究を行った．すなわち，円環の外部固定境界が球面の場合に具体的に構成される球対称双曲型解の族の上記の発展方程式の解としての安定性を調べた．球面調和関数を用いた具体的な固有値問題の解析により，球対称双曲型解における線型化作用素は漸近的に空間次元と等しい次元の不安定固有値と一次元の零固有値を有することが分かった．また，もう一つの興味深い結果として，対応する非線型発展方程式のもつ無限個の保存則をえることに成功した．
これらの研究成果は一般の外部固定境界の場合にも不安定双曲型解の族が存在することを主張するFlucher-Rumpf予想の解決へと導く重要な一歩であり，少なくとも二次元の場合には等角写像を用いることにより，上述の球対称双曲型解の摂動として一般の双曲型解の族がえられることが期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画にある双曲型解の単調縮小族の構成には到達していないものの，その困難さがどこに起因するのかを線型作用素のスペクトルによって表し，Bernoulli問題の関数解析的枠組みにおいて捉えることに成功しているため．
これは他の問題への応用を考えた場合に非常に有益なものであり，関連する自由境界問題の不安定解の研究に対しても大きな影響を与えるものであると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画にしたがって，Bernoulli問題の双曲型解の単調縮小族の構成を目標とする. 目標達成のために必要な大域的な解の考察に関しては，Antoine Henrot教授（Institut Elie Cartan）と議論を深める．
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| Causes of Carryover |
研究計画の変更により情報収集で用いるための旅費が当初予定よりも少なくなった．この次年度使用額については最終年度において研究計画の遂行で必要となる情報収集のための旅費として用いる予定である．
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