2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K17629
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
川上 竜樹 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 動的境界条件 / 非線形楕円型方程式 / 外部領域 / 分数冪拡散方程式 / 粘性Hamilton-Jacobi方程式 / 指数型非線形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は研究実施計画に従い、まず球の外部領域における動的境界条件付き非線形楕円型方程式の可解性に関する研究、Half Laplacianを有する粘性Hamilton-Jacobi方程式に対応する積分方程式に関する研究の２点を行なった。
動的境界条件付き非線形楕円型方程式については、東北大学の石毛和弘教授並びにComenius大学のMarek Fila教授との共同研究により、本問題の可解性に関する臨界指数の導出並びに大域挙動を示すとともに、時間局所可解性と時間大域可解性の同値性を示した。これまで本研究に関連する結果は有界領域もしくは半空間の場合しか得られておらず、半空間以外の非有界領域における研究への足がかりとなると強く確信している。本研究成果は既に論文として国際雑誌に投稿し、掲載が決定している。
次にHalf Laplacianを有する粘性Hamilton-Jacobi方程式については大阪市立大学の岩渕司准教授 （現東北大学准教授）との共同研究により、対応する積分方程式に関して、方程式から導かれるスケール不変なBesov空間において、小さな初期値に対する可解性と時間大域挙動を示した。本問題はこれまで粘性解の枠組みにおいて可解性が得られていたが、本研究成果により、対応する積分方程式を扱った結果は本研究が初である。本研究成果も既に論文として投稿し、国際雑誌に掲載が決定している。
また次年度実施予定であった指数型非線形項を有する非線形熱方程式の時間大域解の漸近挙動に関してもMilano大学のBernhard Ruf教授、Elide Terraneo氏、Bergamo大学のGiulia Furioli氏と共同研究を行なった。本研究成果も既に論文として投稿し、国際雑誌に掲載が決定している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度実施計画に即して行なった球の外部領域における動的境界条件付き非線形楕円型方程式の可解性に関する研究並びにHalf Laplacianを有する粘性Hamilton-Jacobi方程式に対応する積分方程式に関する研究に対して、それぞれ想定していた結果を得ることができたことに加え、新しい具体的な課題についても得ることができた。また次年度実施予定であった指数関数型の非線形項を有する場合についてもその準備段階として欠かせない非線形熱方程式の場合の結果を前倒しで得ることができた。
これら上記すべての結果はすでに論文として国際雑誌に投稿し、掲載が決定していること、また多くの国内外の研究集会における講演を通して一定の評価を得ていることからも研究目的に対して当初の計画以上に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず第一に指数型非線形項を内部にもつ動的境界条件付き非線形楕円型方程式の可解性及び解の漸近挙動について考察したい。これまでの研究において適当な条件のもとでは本問題の可解性と対応する定常問題の可解性が同値になることが知られており、本研究によって、一般的には困難であるする鵜方非線形項を有する楕円型方程式の可解性に関する結果が得られることが期待できる。本研究は本年度からの継続研究であるためMilano大学のRuf氏, Terraneo氏, Bergamo大学のFurioli氏と共同で研究を進めていく。
次に本年度の研究成果から派生した研究としてHalf Laplacianを有する粘性Hamilton-Jacobi方程式に対応する積分方程式の解の解析性の研究が挙げられる。これまで本問題に対しては粘性解の枠組みにおける可解性は知られていたが、本年度の研究成果により、積分方程式として記述することが可能になった。ここでは積分核の情報とBesov空間の性質を用いることにより解のより詳細な性質の抽出を目指す。本研究も本年度からの継続研究であるため東北大学の岩渕氏と共同で研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
当初は計算機の購入を検討していたが、本年度の前半は大阪市立大学数学研究所を拠点とする日本学術振興会頭脳循環プログラムにてイタリアのミラノ大学に長期滞在しており、共同研究者との円滑な研究連絡を優先したため、シンポジウムへの参加等を優先した。そのため計算機の購入検討を次年度以降にしたため、相当量の次年度使用額が発生した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
改めて計算機の購入を検討するが、すでに国外出張が３件決定しているため、それらを含めた使用計画の中で計算機周辺機器の購入等も視野に入れて検討する。
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