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2018 Fiscal Year Research-status Report

動的境界条件を持つ非線形偏微分方程式の新展開

Research Project

Project/Area Number 16K17629
Research InstitutionRyukoku University

Principal Investigator

川上 竜樹  龍谷大学, 理工学部, 准教授 (20546147)

Project Period (FY) 2016-04-01 – 2020-03-31
Keywords動的境界条件 / 退化拡散方程式 / 分数冪拡散方程式 / 時間大域可解性 / 臨界指数
Outline of Annual Research Achievements

本年度は動的境界条件を有する熱方程式の解の構築ならびに拡散極限としての解の収束性の研究、また動的境界条件に付随する分数冪拡散方程式と関連の深い退化拡散方程式の大域可解性に関する研究、さらに逆2乗冪のポテンシャルを有する半線型熱方程式の大域可解性に関する研究を行なった。
まず、動的境界条件を有する熱方程式については共同研究者である東京大学石毛和弘氏とComenius大学の Marek Fila 氏とともに2次元以上の半空間において時間大域解を構成するとともに、熱方程式の拡散極限として、本問題の解が動的境界条件を有するLaplace方程式の解に収束することを示した。また、Comenius大学の Johannes Lankeit 氏も加えて、上記で得られた収束の速さが最適であること、さらに3次元における単位球の外部領域でも同様の結果が得られることを示した。
次に退化する係数を有する非線形拡散方程式については静岡大学の藤嶋陽平氏とJohns Hopkins 大学の Yannick Sire 氏とともに昨年投稿した論文について、基本解の評価に関する問題点を改善し、大域可解性に関する臨界指数を導出し、方程式に付随した不変量に関して十分小さな初期値に対して時間大域解を構成した。
最後に逆2乗冪のポテンシャルを有する半線型熱方程式の大域可解性について、石毛氏と共に、これまでの得られていた既存の結果を全て包含する形での臨界指数の導出を行なった。
これら3件については既に論文として国際雑誌に掲載が確定している。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は昨年度の推進方策の一つとして挙げていた動的境界条件を有する熱方程式について、2次元以上の半空間および3次元における単位球の外部領域に対して時間大域解を構成できたこと、さらにその拡散極限についても研究成果を得られた点は充分評価できる。また、昨年度から継続して行なっていた国際共同研究を完成させることができた点、さらに逆2次のポテンシャルを有する半線型熱方程式についてはこれまでの結果を包括する結果を得られた点からも、当初の計画以上に進展していると言える。
一方で、昨年度の推進方策に挙げていた指数型非線形項を内部に持つ動的境界条件または非線形境界条件については一定の成果は得ているものの、現在も継続的に研究を行なっており、次年度以降の発表を目指している。
以上の点から、進捗状況としてはおおむね順調に進展していると言える。

Strategy for Future Research Activity

まずは一昨年度からの継続研究として指数型非線形項を内部にもつ動的境界条件または非線形境界条件の可解性について考察したい。それら2つの問題の関係性と可解性に関する臨界条件の導出を目標として研究を進めていきたい。
次に、3次元以外の単位球の外部領域における動的境界条件を有する熱方程式の可解性について考察したい。この研究を通して本問題の基本解の構築を目指し、非線形問題への足掛かりを作ることを目的として研究を進める。これはこれまでの研究の継続研究にあたるため、石毛氏、Fila氏、Lankeit氏と共同で研究を進めていく。
最後に退化する係数を有する半線型熱方程式の爆発問題について考察していく。これは分数冪拡散方程式および動的境界条件と密接に関わるものであり、今後の研究に対して重要な指針を与えるものであると強く確信している。これはこれまでの藤嶋氏、Sire氏との研究の継続研究にあたるため、本研究についても共同で進めていく。

Causes of Carryover

本年度は昨年度からの検討事項であった計算機の購入を年度末に想定していたが、本研究の派生研究に関して、大幅な進展があり、研究連絡を行う必要が生じたこと、また国際研究集会の開催に関して、当初予定を上回る支出があった。そのため、計算機の購入を断念したため、差額が生じた。
次年度については計算機の購入を再度検討するが、既に研究連絡のために複数名の研究者の招聘を予定していること、また、成果発表のための渡航予定が入っていること等を念頭におきながら慎重に検討していく。

  • Research Products

    (16 results)

All 2019 2018 Other

All Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 3 results) Presentation (9 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 9 results) Remarks (2 results) Funded Workshop (2 results)

  • [Journal Article] Critical Fujita exponents for semilinear heat equations with quadratically decaying potential2019

    • Author(s)
      K. Ishige and T. Kawakami
    • Journal Title

      Indiana University Mathematics Journal

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Rate of convergence in the large diffusion limit for the heat equation with a dynamical boundary condition2019

    • Author(s)
      M. Fila, K Ishige, T. Kawakami and J. Lankeit
    • Journal Title

      Asymptotic Analysis

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Critical exponent for the global existence of solutions to a semilinear heat equation with degenerate coefficients2019

    • Author(s)
      Y. Fujishima, T. Kawakami and Y. Sire
    • Journal Title

      Calculus of Variations and Partial Differential Equations

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Critical Fujita exponents for semilinear heat equations with quadratically decaying potential2019

    • Author(s)
      川上竜樹
    • Organizer
      九州大学関数方程式セミナー
    • Invited
  • [Presentation] 動的境界条件付き熱方程式の拡散極限2019

    • Author(s)
      川上竜樹
    • Organizer
      武蔵野大学・龍谷大学連携シンポジウム
    • Invited
  • [Presentation] A semilinear elliptic equation with a dynamical boundary condition2018

    • Author(s)
      Tatsuki Kawakami
    • Organizer
      138th AMS Meeting, Special Session on Partuial Differential Equations and New Perspective of Variational Methods
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Critical Fujita exponents for semilinear heat equations with quadratically decaying potential2018

    • Author(s)
      Tatsuki Kawakami
    • Organizer
      K-Japan Workshop on Analysis of Nonlinear Partial Differential Equations
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The large diffusion limit for the heat equation with a dynamical boundary condition,2018

    • Author(s)
      Tatsuki Kawakami
    • Organizer
      8th Euro-Japanses Workshop On Blow-up
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Positive solutions of a semilinear elliptic equation with singular Dirichlet boundary data2018

    • Author(s)
      Tatsuki Kawakami
    • Organizer
      2th AIMS International Conference on Dyn. Systems, Diff. Equations and Applications
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Heat equation with a dynamical boundary condition2018

    • Author(s)
      Tatsuki Kawakami
    • Organizer
      2th AIMS International Conference on Dyn. Systems, Diff. Equations and Applications
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Critical Fujita exponents for semilinear heat equations with quadratically decaying potential2018

    • Author(s)
      川上竜樹
    • Organizer
      京都大学NLPDEセミナー
    • Invited
  • [Presentation] 動的境界条件付き半線形楕円型方程式2018

    • Author(s)
      川上竜樹
    • Organizer
      日本数学会2018年度秋季総合分科会 函数方程式論分科会 特別講演
    • Invited
  • [Remarks] 川上竜樹のホームページ

    • URL

      https://whale2.math.ryukoku.ac.jp/~kawakami/kawakami.html

  • [Remarks] 川上 竜樹 -研究者- researchmap

    • URL

      https://researchmap.jp/k-tatsuki?lang=japanese

  • [Funded Workshop] The 10th Taiwan-Japan Joint Workshop for Young Scholars in Applied Mathematics2019

  • [Funded Workshop] Workshop on Nonlinear Partial Differential Equations -Japan-China Joint Project for Young Mathematicians 2018-2018

URL: 

Published: 2019-12-27  

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