2017 Fiscal Year Research-status Report
多様体及びグラフの幾何構造と不均質媒質による散乱理論
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16K17630
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
森岡 悠 同志社大学, 理工学部, 助教 (80726597)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 関数解析額 / 関数方程式論 / 散乱理論 / スペクトル理論 / 逆問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は以下の3点について研究を進めた。
(1)多様体上の透過固有値問題とワイル則。境界付きコンパクト多様体上で音響波動型の連立ヘルムホルツ方程式を扱い、前年度までの研究成果をやや一般化された条件に拡張することに成功した。具体的には、境界条件に伝導度パラメータの項を加えた非斉次なものを仮定し、正の透過固有値の漸近的な個数に関するワイル則を示した。この結果は庄司直高(筑波大学)との共同研究として論文誌に投稿中である。
(2)離散シュレーディンガー作用素の逆散乱問題。主に六角格子を具体例として、散乱データであるS行列を用いてスカラーポテンシャルまたは格子の欠損を決定するアルゴリズムを示した。この結果は前年度までにほぼ得られていたものであるが、今年度はさらに細部を詰めた上で、磯崎洋(筑波大学名誉教授)、安藤和典(愛媛大学)との共同研究として論文誌に投稿し、掲載の見込みである。
(3)離散シュレーディンガー作用素のスペクトルと量子ウォークの研究への応用。1次元格子上の量子ウォークにおけるある種の欠損(ある一様な量子コインに対して局所的に強い摂動を持つコインの存在)は、時間発展を表すユニタリ作用素の連続スペクトルと埋蔵固有値を調べることで検出できることを示した。ユニタリ作用素の埋蔵固有値については、摂動が遠方で極めて小さい場合には離散シュレーディンガー作用素と同じ手法で調べることができた。この結果は、瀬川悦生(東北大学)との共同研究として論文誌に投稿の準備を進めている。離散シュレーディンガー作用素の埋蔵固有値問題について、昨年度は多項式的に減衰するポテンシャルの場合の研究を進めていたが、今年度の継続的な研究において議論に不十分な点があることが分かった。この点は本質的に困難な部分であることが分かり、離散モデルでは先行研究結果もほぼ存在しない状態であるため、今後も継続課題とする予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
年度当初の計画からいくつかの方針転換はあったが、以下の理由からおおむね順調な進展である。本研究課題の主要項目である透過固有値問題と離散シュレーディンガー作用素に関する逆散乱問題については、本年度の段階で一定の成果を得た。離散シュレーディンガー作用素のスペクトル理論に関しては、量子ウォークへの応用という副産物が得られており、今後のさらなる展開も具体的な準備が進んでいる。多項式的に減衰するポテンシャルの研究については、論文等の形での成果を得られないままとなっているが、当初の予想と異なり、連続モデルでよく知られている証明方法では本質的に難しいようであることが分かってきており、知見としては蓄積が進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
量子ウォークへの応用について、さらに研究をすすめる。また成果を速やかに論文としてまとめ、論文誌に投稿する。シュレーディンガー作用素のスペクトル・散乱理論については、現在のところ(1)連続モデル: 散乱行列と非散乱エネルギーの研究、(2)離散シュレーディンガー作用素に対する逆散乱手法の量子グラフへの応用、(3)離散モデル: 多項式的に減衰するポテンシャルについてのさらなる研究、を課題として研究を進める。これらの課題を進めるため、国内外の研究者との情報交換を密に行い、同時に国内外での研究集会等での研究成果の発表を行う。
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| Causes of Carryover |
今年度の研究発表及び研究打ち合わせのための出張は, 当初計画にあったもののほか, 予期していなかったものも含めて行った. 次年度使用額が生じたのは, 今年度も国外出張がなかったことと, 国内出張旅費の当初見込みとの差額が生じたことであると考えられる. 次年度は国外出張や関係する研究者の招聘を計画しており, また研究の進展から物品購入も予想されるため, 次年度に繰り越すこととした.
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