2017 Fiscal Year Research-status Report
曲率流の三相境界問題とFast Diffusion 方程式の研究
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16K17634
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
下條 昌彦 岡山理科大学, 理学部, 講師 (40588779)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Fast Diffusion 方程式 / 対数拡散方程式 / 特異性と伝播現象 / 特異・被食捕食系 / 反応拡散系の空間均質化 / 重みつきハミルトン系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.柳田英二教授(東京工業大学)，Peter Takac教授(Rostock大学)と対数型拡散方程式に適当なflux条件を課した解の漸近挙動を解明した．具体的には任意の解は，自己相似スケーリングを施すと進行波に収束することを証明した．共同研究成果は学術誌に受理され，電子ファイルが掲載された.
2.特異点の解析という観点から，Jong-Shenq Guo教授(淡江大学)と特異性をもつ被食・捕食モデルに対する反応拡散方程式の研究を行った．周期解への空間均質化現象を代数的可積分系のダルブー理論を用いることで解明した．研究成果は学術誌に受理・掲載された.
3.周期解への空間均質化現象を一般の反応拡散方程式で考察し，その一般論を見つけた．リー群の基本的な性質を用いて周期解への空間均質化現象を起こす反応項を特徴づけた．この結果はAmy Poh AiLing氏(岡山大学)との共同研究であり，空間均質化を起こす非線形項の広い範囲をカバーしている．研究成果は学術誌に受理・掲載された.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
対数拡散方程式の研究に関しては柳田英二教授(東工大)，俣野博教授(東大)らとアイデアの交換を頻繁に行ったことで，とても短く簡明な証明を発見できた．論文は大幅に書き直すことになったが，ページ数はたいへん短くなり，査読・受理までの時間が相当に短縮された．特異・被食捕食系に関する研究が進展したのは代数的可積分性との関連性を見出せたことが大きい．第一積分を構成が多項式の除算アルゴリズムに帰着させられることが分かったので，周期解への漸近問題は瞬く間に解けてしまった．
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| Strategy for Future Research Activity |
1.対数拡散方程式にKPP型やbistable型の非線形項を加えた方程式に関してその漸近挙動を解明する．現在のところ，進行波は構成できるのだが，初期値問題の適切性がわかっていないので，その部分を最初に解明する必要がある．
2.特異被食捕食系の反応拡散方程式に関して定常解への収束問題と周期解への漸近を解決したが，quenching解に関しては全く未解明である．現在，特異性の形を知るため後ろ向き自己相似解について考察している．
3.本プロジェクト課題である曲率流，面積保存型や不均質媒質やネットワーク上の解析を行う．昨年の研究推進方策に沿って山辺流をFast-Diffusion方程式へ応用できるかを検討した．上手くモデル化した方程式に対し，進行波や前向き自己相似解が存在することまでは分かった．しかしながら，一般の初期値に対する解の存在が保障されているのかが未知なので，まずそこから解析する必要がある．
4.対数拡散方程式の境界条件を退化させて，非対称性を入れるとquenchingのオーダーが自己相似解のそれよりも大きいと予想している．その特異性のオーダーが実際にどれぐらいの大きさであるかは未知である．それを決定する．Hamiltonのスケーリングにより非自己相似解の分類を行う．また接合漸近展開など形式的計算も必要になると予想される．
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| Causes of Carryover |
人件費・謝金を使用して，共同研究者のP. Takac氏とJong Shenq Guo氏を日本に招待する予定であったが，出張先などで共同研究での議論は十分に効率的に行えたためプロジェクトが予定より早く完結した．そのため，予算の一部を次年度で有効に活用する方針に切り替えた次第である．
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