2016 Fiscal Year Research-status Report
非線形偏微分方程式の粘性解と微分ゲーム理論による手法
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16K17635
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
柳 青 福岡大学, 理学部, 助教 (70753771)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 粘性解 / 凸性の保存 / Heisenberg group / 平均曲率流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成28年度の研究実績は以下の通りである．
（１）Heisenberg group上の半線形放物型方程式について粘性解の凸性保存定理を考察した．ユークリッド空間の場合と同様な保存定理が期待できないことを明らかにした．さらに，Heisenberg groupにおける新たなリプシッツ連続性と凸関数の概念を導入し，時間発展とともにそれらの性質が保存されことを示した．この結果に関する論文は国際ジャーナルCalculus of Variation and Partial Differential Equationsに掲載された．（２）Heisenberg groupにおける放物型方程式系の可解性についてウースター工科大学数学科のX. Zhou氏と共同研究を行った．システムの場合でも粘性解の一意存在定理の証明に成功し．粘性解理論のsub-Riemann多様体への応用を広げた．（３）Hamilton-Jacobi方程式の幾何学的性質のさらなる拡張として，一般の距離空間上の解の凸性の保存が東京大学の中安淳氏との共同研究で解明できた．この性質を示すために，距離空間自身の凸性が必要であることが判明した．測地線に基づく凸性を持つ初期値に対して，方程式の解は任意の時刻に同じ凸性を満たすことを明らかにした．（４）平均曲率の冪乗による幾何学的運動の漸近挙動を考察した．指数が0に近くとき，その極限は不連続性を持つ完全非線形方程式であり，従来の粘性解理論が適用できない問題である．それに対して，新たな解の概念を考案し，比較定理の証明に成功した．さらに，得られた比較定理を用い，冪乗型曲率流方程式の解の収束定理も示せた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初に予定していた研究問題に対してそれぞれ部分的な結果が得られ，研究目標も部分的に実現できた．現在の結果と方法に改良する余地があるが，全体としては順調に進んでいる．また，冪乗による曲率流方程式についての研究は予想以上に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
計画通り完全非線形放物型方程式系のゲーム論的アプローチとその応用について研究を行う予定である．比較的に強い仮定の下でHeisenberg groupにおいて値関数の収束が証明できたが，ユークリッド空間の場合についても考察する必要がある．さらに，システムの場合のみならず，単独方程式の場合に対しても，値関数の挙動を調べることにより，解の正則性など様々な性質を考察する．
また，より一般的な境界値問題についてゲーム論的解釈も取り組むべき課題である．現在，完全非線形放物型方程式の動的境界値問題に関して北海道大学の浜向直氏と共同研究を行なっている．ゲーム理論による方程式への近似問題については部分的な結果が得られた，今後，ゲーム論的観点から様々な境界値問題との関連性を明らかにし，方程式の解に与える影響について理解を深める方針である．
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| Causes of Carryover |
東京大学に出張した際，先方が旅費を負担してくれたためである
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度に行われる研究集会に参加するための旅費として使用する．
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Research Products
(7 results)
