2018 Fiscal Year Annual Research Report
Viscosity solutions of nonlinear partial differential equations and a game-theoretic approach
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16K17635
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
柳 青 福岡大学, 理学部, 助教 (70753771)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 粘性解 / ゲーム理論 / 動的境界条件 / 完全非線形偏微分方程式 / 時間分数階微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）画像処理の数理モデルに現れる冪乗型曲率流方程式の解の漸近挙動について研究を続けていた．初期値が凸である場合には，指数無限大における解の極限が1-Laplace方程式の障害物問題を満たすことが本研究で明らかになった．また，空間１次元冪乗型熱方程式に対しても類似な漸近挙動を示し，不安定砂杭の数理解析への応用も実現できた．これらの結果に関する論文は国際ジャーナルTran. Amer. Math. Soc.とAdv. Stud. Pure Math.に掲載されることが決まった．さらに，初期値が凸でない場合には，前年度の研究で得られた結果を改良し，空間１次元においてより一般的な冪乗型方程式解の収束定理の証明に成功した．以上の研究結果について国内外の研究集会で多数の研究発表を行った．
（２）前年度から始めた動的境界値問題のゲーム論的解釈に関する研究でも新たな進展が得られた．一般的な完全非線形放物型方程式の動的境界値問題に対して離散ゲームを構築し、ゲームの値函数により方程式の解の表現公式を与えた。さらに，発展スピードが非常に速い極限ケースにも，値函数の収束定理を得られ，対応する動的境界値条件付き楕円型方程式のゲーム論的手法を確立できた．これらの研究結果は北海道大学の浜向直氏との共同研究によるものであり，作成した論文は現在投稿中である．
（３）Caputo分数階時間微分をもつ発展方程式に関する研究は最近盛んに行われている．東京大学の儀我美一氏と三竹大寿氏との共同研究では，時間分数階偏微分方程式の最適制御やゲーム理論による解釈を考察している．研究の初期成果として，完全非線形方程式の粘性解に収束する離散スキームを導出することに成功した．今後，その離散近似法に基づき，最適制御による解の表現定理の確立およびその応用を目指している．
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Research Products
(12 results)
