2017 Fiscal Year Research-status Report

準線形放物型方程式の解の正則性を応用した中性化現象の数学解析

Research Project

Project/Area Number	16K17636
Research Institution	Tomakomai National College of Technology
Principal Investigator	熊崎耕太苫小牧工業高等専門学校, 創造工学科, 准教授 (30634563)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2020-03-31
Keywords	中性化現象 / 水分の輸送モデル / 準線形放物型方程式 / 自由境界問題 / 解の存在と一意性 / 数学解析 / 非線形現象 / 数理モデル
Outline of Annual Research Achievements	本研究は、建造物の持続性を損なう亀裂を引き起こす原因である中性化現象について、水分や二酸化炭素といった化学物質を用いた3次元数理モデルの適切性を示すことを目的とし、前年度では、特に、水分の輸送モデルの解の存在と一意性を示した。本年度得られた結果は以下の通りである。我々が前年度に解析を行った水分の輸送モデルは、本来、相対湿度と飽和度との関係がヒステリシスとなることを2つの数量に関する微分包含によって表したものであったが、2つの数量の弱い連続依存性から中性化モデル全体の適切性を示すことが困難であることが判明したため、それらを解消することを目的として、材料全体とその各点に付随する細孔という2つのスケールを取り入れた新しいモデルである。材料内部では、各細孔において水分量が増加し、増加した水分が細孔間を通ることで水分輸送が起こるが、こうした細孔で起こる変化は、材料全体で観測される相対湿度と細孔での水分とが相互に影響しあうことで引き起こされる。前年度に提案したモデルでは、こうした双方向の効果を表現するため、例えば、巨視的領域において、微視的領域の変数を直接扱っているが、より自然な数理モデルを提案するため、スケールの異なる変数同士を直接的に扱えるような数学的表現を導入し、その解析を行った。また、水分の輸送に関連して、中性化現象の数理モデルとその解析のさきがけであるスウェーデン・カールスタッド大学のAdrianMuntean氏と共同し、先に述べたような細孔内の水分量の増加現象を記述する自由境界問題を提案した。本問題に対して、材料全体で観測される相対湿度を予想される正則性を持った関数として与え、時間局所解の存在と一意性を示した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本年度は、前年度の達成度評価に基づき、当該年度に予定している中性化現象における二酸化炭素輸送モデルの解析と巨視的領域と微視的領域を組み合わせた水分の輸送モデルの解析をすることを目的とした。本年度前半期は、このモデルの時間大域解の存在と示すことを目的としていた。解を時間大域的に延長するためには、解そのものを小さくしなければいけないことが分かっていた。そのための解決策として、相対湿度の方程式の意味を変えないよう、反応速度論と微分包含を用いて表現しなおすことにより、具体的な見直しを図ることができた。こうした見直しを図っている中で、材料全体(巨視的領域)と各細孔(微視的領域)とが相互に与える効果を表現するため、巨視的領域における変数と微視的領域における変数を同じ視点で直接的に取り扱っていたが、数理モデルとして自然ではないため、巨視的領域において微視的変数を、微視的領域において巨視的変数を扱えるような数学的な表現を提案し、それを取り入れたモデルの解析を行うことができた。こうしたスケールの異なる変数を直接的に取り扱うことのできる表現は、今後、二重尺度法を用いる上で重要な観点を導くことができたと考えている。また、水分の輸送に関連して、上記のようなスケールの異なる変数を直接的に扱うことのできる表現を用いて、細孔内での水分量の増加現象を記述する自由境界問題を導出し、解の存在と一意性を示すことができたことは、様々な非線形現象を表現できる二重尺度法の有効性や可能性を探ることもできたと考えている。以上のことから、本年度の目標は一部しか達成されていないものの、二重尺度法に対する重要な観点と新しい可能性を創出することができ、今後の研究が進展していくと予想している。次年度以降は、本年度達成できていないも目標を含め、本研究の目的である中性化現象を表す数理モデルを考える。
Strategy for Future Research Activity	平成30年度においては、上述の達成度評価に基づき、当該年度に予定している中性化現象を表す数理モデルの解析を行うため、本年度達成できていない新しい水分の輸送モデルの解析と二酸化炭素の輸送モデルを追加する。これに伴い、以下のように活動計画を再設定する。前半期は、まず、すでに導出している具体的な改良を用いて、新しい水分の輸送モデルの時間大域解の存在と示すことから着手するが、間隙率を表す関数を無視する。当初、間隙率を考慮したモデルを考えていたが、新しい水分の輸送モデルでは、間隙である細孔での変化が、微視的領域における自由境界問題としてモデルに組み込まれており、間隙そのものが表現されていると考える。水分の輸送モデルの解析が順調な場合は、それと並行して、二酸化炭素の輸送モデルに対して、実際の状況を再現した境界条件を課した場合の解析に移行する。水分の輸送モデルの解析が難航した場合は、滑らかな関数による近似や関数の切断(トランケーション)など方程式の意味を大きく変更しないような設定を行った上で時間大域解の存在を示す。後半期では、前半期における二酸化炭素の輸送モデルの解析が順調な場合は、水分と二酸化炭素の輸送モデルによる中性化現象を表す数理モデルの解析に移行する。前半期における二酸化炭素の輸送モデルの解析が難航した場合は、実際の状況を再現できる境界条件として、すでに時間大域解の存在と一意性を示しているディリクレ型の境界条件のみを採用し、中性化現象を表す数理モデルの解析を行う。