2018 Fiscal Year Research-status Report
準線形放物型方程式の解の正則性を応用した中性化現象の数学解析
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16K17636
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| Research Institution | Nagasaki University |
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Principal Investigator |
熊崎 耕太 長崎大学, 教育学部, 准教授 (30634563)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 中性化現象 / 水分の輸送モデル / 準線形放物型方程式 / 自由境界問題 / 解の存在と一意性 / 数学解析 / 非線形現象 / 数理モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、建造物の持続性を損なう亀裂を引き起こす原因である中性化現象について、水分や二酸化炭素といった化学物質を用いた3次元数理モデルの適切性を示すことを目的とし、本年度は、巨視的領域と微視的領域を組み合わせた水分の輸送モデルと二酸化炭素の輸送モデルに対する解析を行った。本年度得られた具体的な結果は以下の通りである。
材料内部における水分の輸送は、各細孔において水分量が増加し、増加した水分が細孔間を通ることで発生するが、こうした水分の増加現象は、材料全体で観測される相対湿度と細孔での水分とが相互に影響しあうことで引き起こされる。これらの物理的背景から、前年度においては、材料全体(巨視的領域)における相対湿度の拡散方程式と、各細孔(微視的領域)における水分の増加現象を表す自由境界問題を組み合わせた水分の輸送モデルを提案し、時間局所的な可解性を示した。時間大域的な可解性のためには、解そのものが時間大域的に小さいことを示す必要があったが、相対湿度の支配方程式は、化学反応による水の生成を表す外力項をもつ準線形放物型方程式であるため、その解の小ささを時間大域的に保証することは困難であった。そこで、本年度は、様々な実験結果とそれに基づいて提案されているモデルをもとに、化学反応による水の生成を表す項を相対湿度に応じた、物理的妥当性のある形に改良することで、解の時間大域的な小ささを示すことができ、時間大域的な可解性を示すことに成功した。
また、二酸化炭素の輸送については、ヘンリーの法則を考慮した上で、水中及び空気中の二酸化炭素の輸送を記述する２つの拡散方程式からなる数理モデルに対して解析を行った。特に、２つの方程式には、微視的領域の自由境界問題の解の巨視的変数に関する空間微分が含まれているが、この微分可能性とその評価についても導出することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、前年度の達成度評価に基づき、当該年度に予定している水分と二酸化炭素の輸送モデルの解析と中性化現象を表す数理モデルの解析をすることを目的とした。
本年度前半期は、水分と二酸化炭素の輸送モデルの時間大域解の存在を示すことが目的であった。水分の輸送モデルの時間大域的に解が存在するためには、解の小ささを保証する必要があった。この問題に対して、相対湿度が低いときには、二酸化炭素が完全に水に融解することはなく、相対湿度が高いときには、細孔内の水分が二酸化炭素の拡散を阻害するという実験結果に基づき、相対湿度の支配方程式における、化学反応による水の生成を表す項を相対湿度の状況に応じた形に改良し、解そのものの時間大域的な小ささを保証することができた。これによって、水分の輸送モデルの時間大域的な解の存在を示すことができた。こうした時間大域的な解の存在を示すことができたことは、今後、二重尺度法を用いて数理モデルを解析する上で、重要な結果を導くことができたと考えている。
また、二酸化炭素の輸送モデルにおいては、ヘンリーの法則を考慮した上で、水中及び空気中、それぞれの拡散方程式を考え、それぞれにディリクレ型の境界条件を課し、解析を行うことができた。特に、それぞれの方程式には、微視的領域の自由境界問題の解の巨視的変数に関する微分が含まれているが、その微分可能性と微分の評価を導出した。こうした微視的領域における関数の巨視的領域における微分可能性を示すことができたことは、二重尺度法を用いた数理モデルにおける新たな観点・進展であると考えている。
以上のことから、二重尺度法に対する重要な結果や新たな観点を導くことができ、中性化現象を表す数理モデルの解の存在に向けて必要な結果を見出すことができた。次年度は、本研究の目的である中性化現象を表す数理モデルの解析を行う。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成31年度においては、上述の達成度評価に基づき、前年度達成できていない中性化現象を表す数理モデルの解析、及び当該年度に予定している解の時間大域的挙動に関する解析を行う。本年度の活動計画は、以下のようである。
前半期は、水分と二酸化炭素の輸送モデルからなる中性化現象を表す数理モデルの時間局所の存在を示すことから着手する。その方法として、水分の輸送モデルと二酸化炭素の輸送モデルをつなぐ解写像を作り、不動点定理を用いることが最も有効であると考えている。こうした方針において、例えば、水分の輸送モデルを構成する自由境界問題の解のエネルギー評価には、巨視的領域における相対湿度の拡散を表す準線形放物型方程式の解の高い正則性が必要となる。こうした高い正則性を実現するためには、支配方程式である準線形放物型方程式の外力項が高い正則性を有していなければならないが、この外力項には、二酸化炭素の輸送モデルの解が含まれている。そのため、二酸化炭素の輸送モデルを構成する方程式の性質から、その解の高い正則性を示すことができない可能性がある。その際には、微視的領域と巨視的領域をつなぐ条件を滑らかな関数を用いて緩和するなど、仮定や条件を見直すことで自由境界問題の解のエネルギー評価を行い、数理モデルの時間局所解の構成を行う。
後半期においては、解の時間大域的存在と挙動に関する解析を行う。解の時間大域的な存在においては、本年度得られた研究をふまえ、時間局所解の延長による方法によって構成することを試みる。上記の研究においては、中性化現象を解析している日本女子大学の愛木豊彦教授とスウェーデン・カールスタッド大学のAdrin Muntean教授と交流し、先に述べた微視的領域と巨視的領域における接合条件の緩和など、仮定や条件の見直しに対する物理的妥当性を検討しながら研究を進めていく。
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