2019 Fiscal Year Research-status Report
準線形放物型方程式の解の正則性を応用した中性化現象の数学解析
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16K17636
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| Research Institution | Nagasaki University |
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Principal Investigator |
熊崎 耕太 長崎大学, 教育学部, 准教授 (30634563)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 中性化現象 / 水分の輸送モデル / 準線形放物型方程式 / 自由境界問題 / 解の存在と一意性 / 数学解析 / 非線形現象 / 数理モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、建造物の持続性を損なう亀裂を引き起こす原因である中性化現象について、水分や二酸化炭素といった化学物質を用いた3次元数理モデルの適切性を示すことを目的としている。本年度得られた具体的な結果は以下の通りである。
本年度は、水分の輸送モデルと二酸化炭素の輸送モデルを組み合わせた中性化現象を表す数理モデルの時間局所解を示すことが目的であった。水分の輸送モデルは、巨視的領域における相対湿度の拡散方程式と、微視的領域における水分の吸着現象を表す自由境界問題を組み合わせたものであり、二酸化炭素の輸送モデルは、水中と空気中の二酸化炭素濃度を未知関数とする２つの拡散方程式からなる。特に、二酸化炭素の輸送モデルは、どちらも、水分量を表す自由境界が拡散項などの係数として含まれている。
時間局所解を構成する上で、２つのモデルを解写像によってつなぎ、不動点定理を用いる方針で進めているが、解の一意性や自由境界問題の解の評価において、巨視的領域における相対湿度の拡散方程式の解の時間微分に関する有界性など高い正則性が必要であった。そのためには、この拡散方程式に含まれる二酸化炭素輸送モデルの解の時間微分に関する空間方向の評価を導出する必要があった。そこで、本年度は、まず、自由境界問題の解と自由境界の下側の有界性を示した。その上で、二酸化炭素の輸送モデルの解の存在証明と解の評価を見直し、自由境界に依存しない評価や解の大きさを導出した。これらの評価と自由境界の巨視的変数に関する空間微分の評価を用い、二酸化炭素の輸送モデルの解が高い正則性を持つことを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、前年度の達成度評価に基づき、当該年度に予定している水分と二酸化炭素の輸送モデルを組み合わせた中性化現象を表す数理モデルの解析をすることを目的とした。
本年度前半期は、中性化現象を表す数理モデルの時間局所解の存在を示すことが目的であった。時間局所解の存在を示す上で、二酸化炭素の輸送モデルの解の時間微分に関する空間方向の評価を示す必要があることがわかっていた。そこで、これまでの二酸化炭素の輸送モデルの解に対するエネルギー評価の導出方法を見直すことで、時間微分や空間微分など自由境界に依存しない評価や解の大きさを導出することができた。特に、こうした評価を導出する上で、自由境界問題の解と自由境界の下側の有界性を示した。この結果は、微視的領域における水分が時間に関して空にならないことを表しており、中性化現象を表すモデルの時間大域的挙動を解析する上で重要な結果であると考えている。また、これらの評価や自由境界の空間方向に関する微分の評価およびdualequation法を用いて、二酸化炭素の輸送モデルの解が高い正則性を持つことを示すことができた。二酸化炭素も巨視的数量であることをふまえると、こうした結果から、微視的数量を扱うためには、巨視的数量が高い正則性を持つ必要があることがわかり、今後、巨視的領域と微視的領域を組み合わせた数理モデルの解析を行う上で重要な視点を得ることができたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題が1年延長となったことから、上述の達成度評価に基づき、前年度に引き続き中性化現象を表す数理モデルの解の存在と一意性、時間大域的挙動に関する解析を行う。本年度の計画は、以下のようである。
前半期は、中性化現象を表す数理モデルの時間局所解の存在を示す。方針として、水分の輸送モデルと二酸化炭素の輸送モデルをつなぐ解写像を作り、不動点定理を用いる。本年度得られた結果をもとに、時間局所解を構成することができると考えている。
後半期においては、解の時間大域的存在と挙動に関する解析を行う。解の時間大域的な存在については、本年度、論文として出版された、水分の輸送モデルに関する時間大域的な解の存在を証明する方法をもとに、時間局所解を延長することを考える。その際、解の時間に関する大域的評価を導出することが難しい可能性がある。その際は、初期条件や境界条件などの仮定や条件を見直し、解の時間に関する大域的評価の導出を行う。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響により、発表を予定していた学会や研究会が開催中止となったため、次年度使用額が生じた。次年度使用額については、本年度発表を予定している学会や研究会の旅費に充てる。
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Research Products
(5 results)
