2017 Fiscal Year Research-status Report
行列式点過程を用いた積分近似理論の新構築，及びその応用
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16K17645
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| Research Institution | Aichi Prefectural University |
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Principal Investigator |
平尾 将剛 愛知県立大学, 情報科学部, 准教授 (90624073)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | QMCデザイン / 球面デザイン / cubature公式 / 行列式点過程 / 球面アンサンブル / 調和アンサンブル / 球面上のランダム点配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
初年度に引き続き, (i) d次元単位球面上の準モンテカルロデザイン系列の行列式点過程を用いた生成法についての解析, 及び (ii) 球面上の行列式点過程から得られる点配置や，球面上で「良い」とされているランダムな点配置の一つであるジッタード・サンプリングによって得られる点配置が，非ランダムな点配置である「球面デザイン」とどれだけ近い構造なのかをp-フレーム・ポテンシャルの観点からの解析を行なった．
(i)では，初年度に解決できなかった調和アンサンブルに関して解析が進み，今後，更なる詳細な解析を海外の研究者と共同研究で推進して行く予定である．また，(ii)に関しては，p=2においては, 代表的な行列式点過程のひとつである球面アンサンブル，調和アンサンブルやリース・ボホナーアンサンブルなどにおける値を決定し，この結果を用いて，ひとつの応用であるEhlerのバナッハ空間への等長埋込に関わる結果を改良していることを強調しておく．さらにpが一般の場合に対しては，球面アンサンブルを含むいくつかのランダム点配置に対してp-フレーム・ポテンシャルの陽的な表示，および評価を与えることに成功している．
これらの結果については2件の国際会議を含め，国内学会・研究集会において既に講演済であり，今後，国際学術誌に論文を投稿予定である．さらに初年度提案して行列式点過程を用いたQMCデザインの生成に関する調査結果が，Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2016(P. Glynn and A. Owen, eds., Springer-Verlag)に掲載予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
【研究実績の概要】において述べたように初年度に解決できなかった調和アンサンブルに関して進展を得ている．
さらに今年度は，ランダム点配置におけるp-フレーム・ポテンシャルの立場から解析を行うことにより，これまで我々は焦点を当てていた行列式点過程と球面上で「良い」と言われているジッタード・サンプリングがどれだけ近い構造であるかを評価することに成功した．これらの内容は国際会議 2件(The 5th International Combinatorics Conference (5ICC), The 5th Japan-Taiwan Conference on Combinatorics and its Applications (5th TJCCA)), および国内における学会・研究集会で口頭発表を行なっている．
しかしながら，p-フレーム・ポテンシャルにおいても調和アンサンブルの解析は容易ではなく，現状ではいくつかのパラメタにおける陽的な表示を得ているにすぎない．今後，さらに直交多項式論などの観点から解析を進める必要がある．
さらに現在，(i) 球面以外の領域上にQMC designの理論が進められないか，(ii)より広いクラスの行列式点過程，ランダム点配置に関してQMC designの理論を広げることができないか模索しており，これらにおける結果がまだ出揃っていないことから，今度さらなる検討が必要だと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
・今年度，より一般的な行列式点過程 (例えば，isotropic projection kernel ensembleなど) についてはフレーム・ポテンシャルの解析は行なったが，それ以外については未実施である．準モンテカルロデザイン系列の観点から調査を行う．
・球面以外の多様体上の解析として，前段階として球帽における考察を開始している．現在，まずは決定的な点配置である球帽上の積分に対するcubature公式の点の数の下界を求め，その下界を達成する点配置の考察を行っている．今後，さらにまずはcubature公式の観点から解析を進め，段階的に準モンテカルロデザイン系列の研究に移行していきたいと考えている．さらにd次元立方格子などに対象を広げていく．
・MCQMC2018(Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2018)などの国際会議に参加し，海外研究者と積極的に交流を深め，問題の深化を図る．
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| Causes of Carryover |
【理由】研究集会への参加を一部延期したため．
【使用計画】次年度の旅費の一部，及び書籍代として使用する計画である．
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