2017 Fiscal Year Research-status Report
非線形・非平衡系におけるビリヤード問題の発展～対称性と退化を伴う分岐～
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16K17649
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
宮路 智行 明治大学, 研究・知財戦略機構, 特任講師 (20613342)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 力学系 / 分岐 / 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有界領域に閉じ込められた自己駆動粒子（非平衡ビリヤード球）の運動を理解することを目的とする．このような運動は，典型的には平面上の反応拡散方程式系の進行スポット解に見られる一方，流体力学や非線形光学分野においても近年報告されてきており，本研究を通じて普遍的な数学的構造を見いだしたい．平成29年度は円板領域における運動の理解を目標とした．このために微分方程式モデルと離散力学系モデルを相補的に用いた．
円板領域における運動のモデルとして群論的分岐理論の観点を踏まえてO(2)の対称性をもつ微分方程式モデルの解析を行い，そのダイナミクスのパラメータに対する依存性を研究した．また，円板領域における離散力学系モデルを考察した．離散モデルの場合，反射を繰り返すたびに軌道は必ず領域境界に漸近していくことがわかった．また，正N角形領域における離散力学系モデルに対する数値計算による研究を行った．Nが大きいほど円板に近づくため，上述の通り境界に沿っていくのだが，Nがかなり大きい場合でも複数のアトラクタを発見した．
一方で，常微分方程式モデルの場合はパラメータに依存して異なる状況が現れうる．すなわち，必ず境界に沿うとは限らず，パラメータによっては領域中央を通る軌道もアトラクタになりうる．このように連続と離散というモデルの階層の違いに応じて異なる挙動の例を他にもいくつか発見した．例えば，矩形領域において離散モデルを考えるとき，領域の縦横比を変えていくと長方形状の周期軌道が存在できる限界の縦横比が同定できるが，常微分方程式モデルではこれに対応する軌道以外にも，周期軌道がある．懸念していた通り，モデル間で類似する点と相異なる点が現れるため，今後の研究では常微分方程式モデルと離散モデルとの関係を注意深く考慮する必要性があると考える．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成29年度は円板領域における挙動を連続モデルと離散モデルの両面から明らかにすることができた．そのため，おおむね順調に進行していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度は，領域の対称性の破れによる非平衡ビリヤード球の軌道の変化を分岐理論の観点から明らかにすることを当初計画では予定していた．対称性の破れとは，ここでは円から楕円，正方形から長方形といった変化を意図している．鈍角をもつ多角形領域での微分方程式モデルが未だ利用できないため，これについては群論的分岐理論を援用することと数理モデルの構築を検討している．これまでの研究方策に引き続き，連続モデルと離散モデルを相補的に用いて理解の深化を目指す．両モデルであらわれる挙動には類似点だけでなく相違点もあるため，これらのモデル間の関係について数学的に整理することも課題である．
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| Causes of Carryover |
（理由）平成29年度は明治大学先端数理科学インスティテュートの文部科学省共同利用共同研究拠点計算機設備の利用により消耗品の購入費をおさえることができたことが主な理由としてあげられる．
（使用計画）最終年度は連続モデルと離散モデルを数値データの観点から比較するためにこれまで以上に詳細なデータを収集する予定であるため，これを保存する電子記憶媒体が必要となる．このため，記憶媒体の購入に充当する予定である．
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