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2016 Fiscal Year Research-status Report

大規模な連立非線形楕円型偏微分方程式の解の存在性を検証する計算機援用証明法の開発

Research Project

Project/Area Number 16K17651
Research InstitutionWaseda University

Principal Investigator

関根 晃太  早稲田大学, 理工学術院, 助教 (80732239)

Project Period (FY) 2016-04-01 – 2019-03-31
Keywords連立非線形楕円型偏微分方程式 / 計算機援用証明法 / 線形化作用素 / 分数冪
Outline of Annual Research Achievements

連立非線形楕円型偏微分方程式は様々な現象を表し,その解は現象の理解に非常に重要である.しかし,現在では解析的に解の存在を証明することも難しい.そのため,本課題では平成28年度の計画は定常Gray-Scott方程式の解に対する精度保証付き数値計算法を開発する予定であった.それに対し計画通り,定常Gray-Scott方程式に対する線形化作用素の逆作用素のノルム評価を考案し,精度保証付き数値計算法を構築した.
その成果とし「関根晃太, 田中一成, 大石進一, "有界な凸領域における連立楕円型偏微分方程式の解の計算機援用存在証明法", Proceedings of the Twenty-Eighth RAMP Stmposium, Nigata University, (2016/10/13)」と「関根晃太, 田中一成, 大石進一, "ある無限次元固有値を用いた楕円型偏微分方程式の解の存在性に対する計算機援用証明法", RIMS講究録, (2016/10/21)」として公表した.
この成果は,今まで困難であったL2-H10の線形化作用素の無限次元固有値を用いた厳密な評価法を,作用素の分数冪を用いて無限次元固有値問題に帰着することで解決した今までにない画期的な成果である.さらに提案した方法は,非自己共役作用素においてもH2レギュラリティを考慮せずに計算可能としていることも特徴である.また,無限次元固有値問題は劉-大石の定理を用いてダイレクトに評価できるため,結果として非常に良い精度良くなる.その結果,定常Gray-Scott方程式の解に対する計算機援用証明法の構築に成功した.今後定常Gray-Scott方程式に限らず,さらに一般化を行い拡張することで,課題の遂行を実現する.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

当初予定していた平成28年度の計画である定常Gray-Scott方程式の計算機援用証明法の開発に成功し,予定通り進んでいる.さらに,平成29年度は方程式の一般化を行い二元連立非線形楕円型偏微分方程式の計算機援用証明法の構築を行う.
さらに,定常Gray-Scott方程式の計算機援用証明法の構築を行う際に利用した「作用素の分数冪」を用いて現状のフレームワークの見直しが可能であることがわかった.例えば,今まで見直す予定がなかった残差評価や補間誤差定数などの評価にも分数冪を利用することで非常に簡単に,かつ精度が向上することがわかった.そのために設置していた平成29年度のフレームワークの見直しを前倒しで平成28年度より行っていたため,当初の計画以上に進展しているといえる.

Strategy for Future Research Activity

今後の推進方策は計画通り平成29年度は方程式を一般化した二元連立非線形楕円型偏微分方程式の解に対する計算機援用証明法の構築に取り掛かる.さらに,定常Gray-Scott方程式の解に対する計算機援用証明法の経験より作用素の分数冪が計算機援用証明法に非常に効果的であることがわかったため,現存する計算機援用証明法のフレームワークの残差評価などの修正も行う.
また,研究の公開方法としてあげている計算機援用証明法の一般ユーザへの配布として,ライブラリの公開を徐々に行っており,ライブラリの拡充も必要である.

Causes of Carryover

国際学会発表に必要となる経費を他研究費より支出したため,差額が生じた.

Expenditure Plan for Carryover Budget

当初平成29年度に購入予定である大規模計算機サーバの補てんに充てる予定である.

  • Research Products

    (18 results)

All 2017 2016

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Open Access: 1 results,  Acknowledgement Compliant: 2 results) Presentation (16 results) (of which Int'l Joint Research: 10 results,  Invited: 1 results)

  • [Journal Article] Sharp numerical inclusion of the best constant for embedding H10(Ω)->Lp(Ω) on bounded convex domain2017

    • Author(s)
      Kazuaki Tanaka, Kouta Sekine, Makoto Mizuguchi, and Shin'ichi Oishi
    • Journal Title

      Journal of Computational and Applied Mathematics

      Volume: Vol.311 Pages: pp.306-313

    • DOI

      10.1016/j.cam.2016.07.021

    • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] 有界な凸領域における連立楕円型偏微分方程式の解の計算機援用存在証明法2016

    • Author(s)
      関根晃太, 田中一成, 大石進一
    • Journal Title

      Proceedings of the Twenty-Eighth RAMP Stmposium

      Volume: 28th Pages: pp.77-94

    • Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] A numerical verification method for solutions to systems of parabolic equations2017

    • Author(s)
      Makoto Mizuguchi, Kouta Sekine, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      The International Workshop on Numerical Verification and its Applications (INVA2017)
    • Place of Presentation
      Miyako Island in Okinawa
    • Year and Date
      2017-03-17
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Verified numerical integration for function with power-type singularity using partial integration2017

    • Author(s)
      Ryo Kobayashi, Kouta Sekine, Masahide Kashiwagi, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      The International Workshop on Numerical Verification and its Applications (INVA2017)
    • Place of Presentation
      Miyako Island in Okinawa
    • Year and Date
      2017-03-17
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Numerical method for estimationg the best constant in Sobolev type inequality on unit square2017

    • Author(s)
      Kazuaki Tanaka, Kouta Sekine, Makoto Mizuguchi, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      The International Workshop on Numerical Verification and its Applications (INVA2017)
    • Place of Presentation
      Miyako Island in Okinawa
    • Year and Date
      2017-03-17
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Verified quadrature for integrand with power-type singularity using partial integral2017

    • Author(s)
      Ryo Kobayashi, Kouta Sekine, Masahide Kashiwagi, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      ANZIAM 2017
    • Place of Presentation
      Adelaide in Australia
    • Year and Date
      2017-02-06
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] A norm estimation for an inverse of linear operator using a minimal eigenvalue2016

    • Author(s)
      Kouta Sekine, Kazuaki Tanaka, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      17th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing
    • Place of Presentation
      Sweden
    • Year and Date
      2016-09-28
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] On verified numerical computation for positive solutions to elliptic boundary value problems2016

    • Author(s)
      Kazuaki Tanaka, Kouta Sekine, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      17th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing
    • Place of Presentation
      Sweden
    • Year and Date
      2016-09-28
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Fast enclosure for matrix multiplication on a GPU2016

    • Author(s)
      Yusuke Morikura, Yusuke Nozawa, Kouta Sekine, Masahide Kashiwagi, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      17th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing
    • Place of Presentation
      Sweden
    • Year and Date
      2016-09-27
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 部分積分とEuler-Maclaurinの公式を用いたベキ型特異点を持つ関数の精度保証付き数値積分2016

    • Author(s)
      小林領, 関根晃太, 柏木雅英, 大石進一
    • Organizer
      2016年日本応用数理学会年会
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場
    • Year and Date
      2016-09-14
  • [Presentation] CUDAの丸めモード指定演算を用いた行列積の高速な包含方法2016

    • Author(s)
      森倉悠介, 野澤優介, 関根晃太, 柏木雅英, 大石進一
    • Organizer
      2016年日本応用数理学会年会
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場
    • Year and Date
      2016-09-14
  • [Presentation] Lotka-Volterra型偏微分方程式の初期値境界値問題の解に対する精度保証付き数値計算法について2016

    • Author(s)
      水口信, 関根晃太,大石進一
    • Organizer
      2016年日本応用数理学会年会
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場
    • Year and Date
      2016-09-14
  • [Presentation] ”Delaunay三角形分割の精度保証付き数値計算手法に対する考察(ポスター講演)2016

    • Author(s)
      若山馨太, 田中一成, 関根晃太, 尾崎克久, 大石進一
    • Organizer
      2016年日本応用数理学会年会
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場
    • Year and Date
      2016-09-13
  • [Presentation] 一次元領域における非線形各参考を伴う方程式の定常解に対する精度保証付き数値計算法(ポスター講演)2016

    • Author(s)
      木村翔矢, 関根晃太, 大石進一
    • Organizer
      2016年日本応用数理学会年会
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場
    • Year and Date
      2016-09-13
  • [Presentation] 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算法について2016

    • Author(s)
      関根 晃太
    • Organizer
      早稲田大学 理工学研究所「精度保証付きワークショップ」
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場
    • Year and Date
      2016-09-12
    • Invited
  • [Presentation] Estimation for optimal constant satisfying an inequality for linear operator using minimal eigenvalue2016

    • Author(s)
      Kouta Sekine, Kazuaki Tanaka, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      Nonlinear Analysis and Optimization(NAO-Asia 2016)
    • Place of Presentation
      Toki Messe in Niigata
    • Year and Date
      2016-08-02
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Verification algorithm for enclosing a mild solution of semilinear heat equations2016

    • Author(s)
      Makoto Mizuguchi, Kouta Sekine, Akitoshi Takayasu, Takayuki Kubo, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      Nonlinear Analysis and Optimization(NAO-Asia 2016)
    • Place of Presentation
      Toki Messe in Niigata
    • Year and Date
      2016-08-02
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Numerically verifiable condition for positivity of solution to elliptic equation2016

    • Author(s)
      Kazuaki Tanaka, Kouta Sekine, and Shin'ichi Oishi
    • Organizer
      The 11th East Asia SIAM Conference
    • Place of Presentation
      University of Macau
    • Year and Date
      2016-06-20
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2018-01-16  

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