2016 Fiscal Year Research-status Report
大規模な連立非線形楕円型偏微分方程式の解の存在性を検証する計算機援用証明法の開発
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16K17651
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
関根 晃太 早稲田大学, 理工学術院, 助教 (80732239)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 連立非線形楕円型偏微分方程式 / 計算機援用証明法 / 線形化作用素 / 分数冪 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連立非線形楕円型偏微分方程式は様々な現象を表し，その解は現象の理解に非常に重要である．しかし，現在では解析的に解の存在を証明することも難しい．そのため，本課題では平成28年度の計画は定常Gray-Scott方程式の解に対する精度保証付き数値計算法を開発する予定であった．それに対し計画通り，定常Gray-Scott方程式に対する線形化作用素の逆作用素のノルム評価を考案し，精度保証付き数値計算法を構築した．
その成果とし「関根晃太, 田中一成, 大石進一, "有界な凸領域における連立楕円型偏微分方程式の解の計算機援用存在証明法", Proceedings of the Twenty-Eighth RAMP Stmposium, Nigata University, (2016/10/13)」と「関根晃太, 田中一成, 大石進一, "ある無限次元固有値を用いた楕円型偏微分方程式の解の存在性に対する計算機援用証明法", RIMS講究録, (2016/10/21)」として公表した．
この成果は，今まで困難であったL2-H10の線形化作用素の無限次元固有値を用いた厳密な評価法を，作用素の分数冪を用いて無限次元固有値問題に帰着することで解決した今までにない画期的な成果である．さらに提案した方法は，非自己共役作用素においてもH2レギュラリティを考慮せずに計算可能としていることも特徴である．また，無限次元固有値問題は劉-大石の定理を用いてダイレクトに評価できるため，結果として非常に良い精度良くなる．その結果，定常Gray-Scott方程式の解に対する計算機援用証明法の構築に成功した．今後定常Gray-Scott方程式に限らず，さらに一般化を行い拡張することで，課題の遂行を実現する．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初予定していた平成28年度の計画である定常Gray-Scott方程式の計算機援用証明法の開発に成功し，予定通り進んでいる．さらに，平成29年度は方程式の一般化を行い二元連立非線形楕円型偏微分方程式の計算機援用証明法の構築を行う．
さらに，定常Gray-Scott方程式の計算機援用証明法の構築を行う際に利用した「作用素の分数冪」を用いて現状のフレームワークの見直しが可能であることがわかった．例えば，今まで見直す予定がなかった残差評価や補間誤差定数などの評価にも分数冪を利用することで非常に簡単に，かつ精度が向上することがわかった．そのために設置していた平成29年度のフレームワークの見直しを前倒しで平成28年度より行っていたため，当初の計画以上に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の推進方策は計画通り平成29年度は方程式を一般化した二元連立非線形楕円型偏微分方程式の解に対する計算機援用証明法の構築に取り掛かる．さらに，定常Gray-Scott方程式の解に対する計算機援用証明法の経験より作用素の分数冪が計算機援用証明法に非常に効果的であることがわかったため，現存する計算機援用証明法のフレームワークの残差評価などの修正も行う．
また，研究の公開方法としてあげている計算機援用証明法の一般ユーザへの配布として，ライブラリの公開を徐々に行っており，ライブラリの拡充も必要である．
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| Causes of Carryover |
国際学会発表に必要となる経費を他研究費より支出したため，差額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初平成29年度に購入予定である大規模計算機サーバの補てんに充てる予定である．
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