2016 Fiscal Year Research-status Report
遅延方程式により定式化される感染症モデルの数理解析：免疫減衰と不安定性
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16K20976
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
中田 行彦 島根大学, 総合理工学研究科, 講師 (30741061)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 感染症数理モデル / 安定性 / 微分方程式 / 積分方程式 / 構造化個体群モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
免疫減衰を考慮した感染症モデルの安定性解析や挙動解析、また細胞増殖を記述した数理モデルの安定性解析を行った。申請者は、多くの構造化個体群モデルを記述する非線形積分方程式の安定性を調べた。特性方程式を導出し、根が左半平面だけに存在するための十分条件を与えて、ネガティブフィードバックと安定性の関係性を調べた。この結果は論文として纏められ、出版されている。
また、申請者は、個体の免疫消失と再感染を仮定した感染症モデルを微分方程式や積分方程式によって定式化している。各個体は感染自然史において、感受性保持者から感染者、免疫保持者、再び感受性保持者へと様々な状態を再帰的に経験し、結果的に二次感染者の再生産に複合的な「時間遅れ」のフィードバックを与えていることが特徴である。
申請者はある一般的なSIS型感染症モデルの大域安定性を初めて厳密に示した。これは一次元の非線形積分方程式として定式化され、（従来指数分布が用いられてきたような）感染期間の分布が一般的なものとなっている。共同研究者のGergely Rost（セゲド大学）とともに、解の上極限・下極限の評価によって、平衡点が大域漸近安定であることを示し、Hethcote and van den Driessche（1995）の予想が正しいことを示した。本結果は論文に纏められ、現在査読中である。
また、大森亮介氏（北海道大学）とホスト個体の感受性変化を記述した単純な感染症流行モデルの挙動について考察した。ホストの感受性変化や免疫反応は、感染症の流行に大きな影響を及ぼしていると考えられるが、その場合の予測や効果的な介入が難しいものとなっている。申請者らの数理モデルの解析によって、従来のSIRモデルに比べ、免疫や感受性の増強によって、感染症ダイナミクスがより複雑なものになる可能性を示した。本結果は現在論文に纏められている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究提案を行った免疫減衰を考慮した感染症モデルの挙動解析について、安定性結果をはじめ、いくつかの新しい結果を得ることができた。これらの結果はそれぞれ論文にまとめられ、随時投稿されている。また解析が可能な単純な免疫増強モデルの定式化やその解析に成功している。免疫増強の数理モデルは定式化や数理解析が難しく、本結果を元に今後の研究を進めていきたい。これらの結果から、研究課題はおおむね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
申請者が本研究で数理解析を行う遅延方程式モデルは、無限次元力学系理論や関数微分方程式理論の中で取り扱われる。関数微分方程式に関する数学理論は前世紀に目覚ましい発展を遂げているが(Hale and Lunel 1993)、解の挙動や安定性を明らかに出来る方程式のクラスは未だ大変限定的で、それ自体が数学的な課題であり、現象理解への応用における障害となっている。また本研究では再生方程式を用いた数理モデルが重要な役割を担う。再生方程式は、構造化個体群モデルのための非局所的境界条件をもつ（準線形）偏微分方程式の再定式化を動機とし(Diekmann et al., 2007)、大域挙動を解析するための解の定性理論は未だ発展途上である。平成28年度に申請者が得た局所安定性結果は次年度にさらに一般化され、感染症モデルを含む他の構造化個体群モデルにも応用できる結果を目指す。また、前年度に解析した数理モデルのより詳細な大域挙動解析を行い、それらの結果を手掛かりとして構造化個体群モデルや非線形再生方程式を一般的に扱うための定性理論を開発する。
申請者は、昨年度に局所安定性を解析した数理モデルから、本質的な要素を抽出し方程式を簡素にすることで、その大域的挙動や周期解の存在性や安定性について詳細な解析を行う。申請者らがこれまでに開発してきたリアプノフ関数の構成法や単調反復法を応用することで、SIS, SIRS型感染症モデルの大域安定性解析を行う。また不安定性を導くようなSIRS型感染症モデル([F1, F4])は、Wright方程式と呼ばれる有名な関数（遅延）微分方程式の拡張であり、その周期解の研究は現在も盛んに行なわれている。申請者は「slow-fastシステム」として認識し特異摂動論の応用を検討し、感染症モデルの周期解の存在性について構成的な証明を与える。
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Research Products
(8 results)
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[Presentation] Epidemic Models with Waning Immunity2016
Author(s)
Yukihiko Nakata
Organizer
China-Japan Joint Workshop on Mathematics & Statistics
Place of Presentation
School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, China
Year and Date
2016-10-09
Int'l Joint Research
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