2016 Fiscal Year Research-status Report
臨界型関数不等式に付随する楕円型偏微分方程式の変分解析
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16K21056
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
和田出 秀光 金沢大学, 機械工学系, 准教授 (00466525)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 臨界型関数不等式 / 変分問題 / Moser-Trudinger不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2016年度においては、研究課題の一つのテーマである臨界型関数不等式について、種々の角度からその研究を行った。具体的に当該年度において研究の対象とした関数不等式は、Sobolev不等式、その臨界に位置するMoser-Trudinger型不等式、またこれらの不等式の重み付き版と言えるRellichの不等式、Caffarelli-Kohn-Nirenbergの不等式等である。Sobolev型不等式に関する具体的な研究実績を以下に説明する。全空間上のSobolev不等式は、いくつかの種類のコンパクトネスの欠如により、同不等式に付随する最大化問題あるいは対応する楕円型方程式の可解性が非自明なものとなる。我々は、考える領域の非有界性から生じるVanishing現象と呼ばれるコンパクトネスの欠如を含んだSobolev不等式に付随する最大化問題をパラメーター付きで考察し、そのパラメーターに関して、最大化関数が存在するための閾値の値を求めることに成功した。その際、vanishing現象を引き起こす最大化列の特徴付けを精密に調査することが重要となる。この研究内容は、大阪大学の石渡通徳氏との共同研究であり、「Michinori Ishiwata, Hidemitsu Wadade, On the effect of equivalent constraints on a maximizing problem associated with the Sobolev type embeddings, Mathematische Annalen 364 (2016), 1043-1068.」に採録済みである。また、Sobolev型不等式の臨界に位置するMoser-Trudinger型不等式に対しても、同不等式に付随する最大化問題を考察し、最大化関数の存在、非存在について研究中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2016年度のおいては、研究課題の１つのテーマである臨界型関数不等式の最大化問題を考察した。具体的に、Vanishing現象と呼ばれるコンパクトネスの欠如を引き起こすSobolev型不等式の最大化問題を考え、その最大化関数の存在または非存在となる変分構造を明らかにした。同内容は、大阪大学の石渡通徳氏との共同研究であり、「Michinori Ishiwata, Hidemitsu Wadade, On the effect of equivalent constraints on a maximizing problem associated with the Sobolev type embeddings, Mathematische Annalen 364 (2016), 1043-1068.」に採録済みである。また、重み付きSobolev型不等式の一種であるRellichの不等式について、その新しい証明法を考案するとともに、同不等式の精密化に成功した。また、この精密化された不等式を用いてRellichの不等式に付随する最大化問題を考えるとき、その最大化関数が存在しないことが直ちに示される。同内容は、埼玉大学の町原秀二氏、早稲田大学の小澤徹氏との共同研究であり、数学雑誌「Mathematische Zeitschrift」に採録決定済みである。以上、研究課題である臨界型関数不等式に関連する論文を2本執筆することができたと言う意味において、当該年度においては研究状況はおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
2016年度においては、Vanishing現象と呼ばれるコンパクトネスの欠如を引き起こすSobolev型不等式の最大化問題を考察し、ある程度その変分構造を理解することに成功した。しかしながら本来、同問題を考察する動機付けとなった研究テーマは、Sobolevの不等式の臨界に位置するMoser-Trudinger型不等式の最大化問題である。全空間上のMoser-Trudinger型不等式の最大化問題を考える際には、コンパクトネスの欠如という観点において、上記のVanishing現象に加え、Concentration現象が現れ、最大化関数の存在、非存在の変分構造がより複雑になると推測される。したがって、同問題を考察する上での推進方策の1つとしては、2016年度において学んだVanishing現象に対する研究手法と有界領域においてCarleson-Chang、Lin、Flucherらが用いたConcentration現象に対する手法を組み合わせ、これらの2種の現象が混合した最大化問題の解析手法の1つを確立することを今後の研究目的の一つとする。
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Research Products
(4 results)
