2017 Fiscal Year Research-status Report
臨界型関数不等式に付随する楕円型偏微分方程式の変分解析
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16K21056
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
和田出 秀光 金沢大学, 機械工学系, 准教授 (00466525)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 関数不等式 / 変分解析 / Trudinger-Moser型不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の１つは、Trudinger-Moser型不等式に付随する最大化問題を考察し、その最大化関数の存在、非存在について考察することである。平成29年度においては、同問題に対し、不等式に現れるパラメーターに関する適当な条件下、最大化関数の存在、非存在についての新たな知見を得ることに成功した。Trudinger-Moser型不等式は、Sobolevの定理の臨界ケースを特徴付ける関数不等式の1つでるが、我々は特に全空間上のTrudinger-Moser型不等式について、その最大化問題を考察した。全空間上のTrudinger-Moser型不等式は、正規系と非正規系の2種の形が知られているが、正規系の不等式については、その最大化関数は常に存在すること示されている。他方、非正規系については、不等式に現れるパラメーターに依存し、最大化関数の存在、非存在が決定されることが近年分かってきた。非正規系のTrudinger-Moser型不等式の最大化関数に関する最新の結果としては、我々の知る限り、J.M.Do, F.Sani, C.Tarsi,Commum. Contemp. Math.,
2016, で示されたものであるが、ここではパラメーターに適当な制限をし、最大化関数の存在、非存在を考察している。同論文の結果を踏まえ、我々は、より一般的なパラメーターに対し、変分解析を駆使することにより、最大化関数の存在、非存在についての結果を得ることに成功した。なお、上記の結果は、慶応義塾大学の生駒典久氏、大阪大学の石渡通徳氏との共同研究であり、査読付き学術雑誌に投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２９年度の本研究課題の1つは臨界型関数不等式の１つである、Trudinger-Moser型不等式に付随する最大化関数の存在、非存在を考察することである。同問題に対する最新の結果としては、我々の知る限り、J.M.Do, F.Sani, C.Tarsi,Commum. Contemp. Math.,
2016, で示されたものであるが、ここではパラメーターに適当な制限をし、最大化関数の存在、非存在を考察している。同論文の結果を踏まえ、我々は、より一般的なパラメーターに対し、変分解析を駆使することにより、最大化関数の存在、非存在についての結果を得ることに成功した。なお、上記の結果は、慶応義塾大学の生駒典久氏、大阪大学の石渡通徳氏との共同研究であり、査読付き学術雑誌に投稿中である。また、Trudinger-Moser型不等式の更に臨界に位置する不等式として、BV(Bounded variation)関数上のSobolev型不等式が現れるが、BV関数空間は非回帰性Banach空間であることが知られており、Trudinger-Moser型不等式を考察するSobolev空間と異なり、変分解析を直接適用することは困難である。平成30年度以降の研究課題の１つはこの非回帰性Banach空間上において変分解析がいかに適用可能であるかを考察し、非回帰性Banach空間上の関数不等式に有用な変分解析を構築することを目標とする。以上が現在の研究状況であるが、当初の研究課題の１つであるTrudinger-Moser型不等式の最大化問題に対する新たな知見を得ることに成功したこと、同問題に関連して、非回帰性Banach空間上における変分解析の必要性を認識し、平成30年度以降の研究課題の１つをより明確にしたことを鑑み、本研究課題はおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２９年度においては、臨界型関数不等式の１つであるTrudinger-Moser型不等式について、その最大化関数の存在、非存在について考察し、新たな知見を得ることに成功した。他方、Trudinger-Moser型不等式の臨界に位置する不等式として、BV(Bounded variation)関数上のSobolev型不等式が現れるが、BV関数空間は非回帰性Banach空間であることが知られており、Trudinger-Moser型不等式の土台となるSobolev空間と異なり、変分解析を直接適用することは困難である。このことを踏まえ、平成３０年度以降の研究課題の１つは、非回帰性Banach空間上において変分解析がいかに適用可能であるかを考察し、非回帰性Banach空間上の関数不等式に有用な変分解析を構築することとする。しかし、同研究課題は相当な困難に直面することが予想されるが、具体的な研究推進策として、まずは非回帰性Banach空間の1例であり、関数不等式に頻出するLebesgue可積分関数の集合であるL-1空間において、同空間の有界列がもつ特徴付けをいかに与えられるかどうかという問題からスタートしていきたい。このような具体的な非回帰性Banach空間に対して関数解析がどこまで通用し、非回帰性から来る困難を明確にすることにより、少しずつであるが、元の問題である、非回帰性Banach空間上の関数不等式に有用な変分解析の構築に向けて着実に研究推進を図ることに尽力したい。
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