2016 Fiscal Year Research-status Report
情報空間の幾何学理論の統一的構成と形態情報科学の構築
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16KT0132
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高津 飛鳥 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2016-07-19 – 2019-03-31
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| Keywords | 情報幾何学 / Wasserstein幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，統計科学における幾何学的手法論の統一的な基礎理論を構築するとともに，情報空間における抽象的な「図形」に関する数理解析手法の構築を行うことである．
平成２８年度はWasserstein幾何学における確率分布の最適輸送問題を，再生核とカレントを用いた表示に書き換えを行うことが目標であった．この問題にはいくつかの先行研究があり，確率測度の最適輸送に情報論的なエントロピーから正則化を行ったもの，微分同相写像に正則化を行ったものなどが知られており，いずれにしても適切な正則化が問題となる．関連研究においていくつかの実験的な成果は得られたが，残念ながら本研究が目標とする数理的基礎を与えるまでには至らなかった．
一方，他の関連研究において，確率変数の期待値という概念が不変なものではなく，統計モデルや統計量に依存して階層的に表れるとという結果が得られた．この事実は研究開始当初には想定していなかった結果であり，図形の特徴量などに大きな影響を与えると考えられる．そのため，期待値の階層構造という視点から，統計モデルの幾何学についての考察も行った．また，この研究成果は平成２９年度以降に議論を予定してたエントロピーが時間に依存するWasserstein幾何学などとも関連があると予想している．
平成２８年度には出版された論文としての成果は得られなかったが，研究代表者，研究分担者ともに国際会議において招待講演を実施し，最適輸送理論や情報幾何の周知に貢献することが出来たと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最適輸送問題の図形や画像への応用のための正則化の問題については，関連問題の情報収集や実験的な結果を得るには至ったが，数理的基礎を与えるまでには至らなかった．
一方，関連研究において，確率変数の期待値の階層構造という新しい概念が発見された．この結果は図形の特徴量などに大きな影響を与えると考えられるため，期待値の階層構造という視点から，統計モデルの幾何学についての考察も行った．
また，機械学習理論の分野を中心に，エントロピーが時間に依存するWasserstein幾何学，Wasserstein距離の情報幾何学など，新しい研究成果が発表されつつある．これらの研究は本研究とも密接に関連があると予想しているため，情報収集などに努めた．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の開始段階では，平成２９年度にはエントロピー汎関数，または一般化したMathieu汎関数が時間や温度に依存する場合や，汎関数が定義されないが勾配写像は定義される場合のWasserstein幾何学や情報幾何学の考察を目標としていた．さらに平成２８年度中の研究によって，期待値の階層構造という概念が導入された．このため，エントロピー汎関数に関する問題は重要性を増したと考えている．研究開始当初の問題に加えて，エントロピー汎関数の系列などについても議論する．また，これらエントロピーを拡張する問題は変形指数型分布族の理論とも関連があるが，指数型分布族の理論を変形指数型分布族の理論に拡張することは，特にWasserstein幾何学では大きなギャップがある．この問題についても解明を目指す．
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| Causes of Carryover |
申請当初にはなかった国際会議が次年度に開催されることになった．この国際会議への渡航費と参加費を捻出するため，予算を次年度に繰り越した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
理由欄で述べた国際会議に参加することで，該当年度の未使用額の大半を使用する予定である．
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