2006 Fiscal Year Annual Research Report
多様体の収束・崩壊理論とリッチ流および特異空間の幾何学・解析学
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17204003
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
山口 孝男 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 教授 (00182444)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加須栄 篤 金沢大学, 理学部, 教授 (40152657)
深谷 賢治 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (30165261)
塩谷 隆 東北大学, 大学院理学研究科, 教授 (90235507)
大津 幸男 九州大学, 大学院理学研究院, 助教授 (80233170)
伊藤 光弘 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 教授 (40015912)
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| Keywords | 崩壊理論 / リッチ流 / アレクサンドロフ空間 / リッチ曲率 / ソウル定理 / 変分収束理論 |
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| Research Abstract |
1.曲率が上に有界で測地的に完備な2次元アレクサンドロフ空間の局所構造を完全に決定した。
この様な空間の任意の点pにおける方向の空間が連結グラフと仮定すると(この場合が本質的なので)、この点の回りの十分小さい距離球は、平面上の原点中心の単位円盤からこの距離球へのpで分岐する有限個の固有リプシッツはめ込みの和として表される。更に、この様な空間の位相的特異点集合が求長可能なグラフ構造をもち、"測地的曲率の絶対値"が局所可積分であることも従うことが判明した。この空間の局所構造の記述はある意味で必要十分であることと思われる。これについてはまだ究明すべき点が幾つか残されているが、いずれにせよ、本研究により、曲率が上に有界で測地的に完備な2次元アレクサンドロフ空間の局所構造は決定されたと言えよう。本研究はこれまでの研究経緯から永野幸一、塩谷隆、B.Kleiner3氏との共同研究であるが、研究代表者が6月と8月にIHESに滞在した際の研究により決定的な前進を遂げた。IHESでのGromov氏やEcole PolytechniqueでのBesson, Courtois, Bavard3氏との議論は有益だった。
2.写像の変分収束理論を研究した。写像の定義域と値域が固定されていない場合に、写像のL^p収束を定義し、エネルギー汎関数の収束についての理論を構築した。また、
曲率が局所的に下に有界なアレクサンドロフ空間上でBishop-Gromovの体積
比較を仮定して、ラプラシアンの比較定理を証明した。応用として、Cheeger-Gromallの分裂定理
を拡張した。(以上は分担者塩谷隆氏と桑江氏の共同研究)
3.有限ネットワーク(重みつきグラフ)の極限として実現される空間を解析的な視点から明らかにして,ネットワークのグロモフハウスドルフ収束,および変分収束とその極限について
いくつかんの基本的な結果を与えた.(以上は分担者加須栄篤氏の研究)
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