2005 Fiscal Year Annual Research Report

グラフィクスとカンドル理論の観点からの4次元トポロジーの研究

Research Project

Project/Area Number	17340017
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	鎌田聖一広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60254380)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	松本堯生広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50025467) 松本眞広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70231602) 河内明夫大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00112524) 金信泰造大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00152819) 松本幸夫東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (20011637)
Keywords	グラフィクス / チャート / カンドル / バイカンドル / モノドロミー / 2次元結び目 / 結び目
Research Abstract	本年度は当研究の初年度であり研究全体の準備が主であった。これまで2次元ブレイドを表示する手法として知られていたチャート表示法を、一般種数の曲面上のモノドロミー表現を表す場合に拡張した。種数1のケースを基本的なアイデアとして、種数2のレフシェツ・ファイバー束のチャート表示を明確にしている。さらに、一般の群に値をとるモノドロミー表現のチャート表示の存在性とある基本変形が生成する同値関係を法にした一意性が示された。さらに底空間に境界がひとつある場合も扱えるように拡張している。ここで用いた基本変形はモノドロミーのターゲットとなる群の群表示によって本質的な部分は決まっているが、これまで知られていた単純2次元ブレイドのチャート表示に関する基本変形が再構成されることは注目に値する。単純でない2次元ブレイドについてのチャート表示が同時に得られたことになるが、その基本変形についてはさらに調査を進める必要がある。とくに2次元結び目理論におけるアレグサンダーとマルコフの定理との関係を込めて最も明快な形で基本変形を得ることは、今後2次元結び目の不変量を得る上で鍵になると思われる。 Fenn教授との討論によって結び目の基本カンドルを拡張する概念である基本バイカンドルについての基礎的な研究が進展した。特に、4元数を利用した非可換環上の加群に射影してバイカンドルを比較する手法が開発され、その有効性がわずかな例ではあるが示された。