2007 Fiscal Year Annual Research Report
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17340041
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
利根川 吉廣 Hokkaido University, 大学院・理学研究院, 准教授 (80296748)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
神保 秀一 北海道大学, 大学院・理学研究院, 教授 (80201565)
柳田 達雄 北海道大学, 電子科学研究所, 助教 (80242262)
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| Keywords | フェーズフィールドモデル / 変分問題 / 相分離 / 表面張力 / 確率偏微分方程式 / 曲率 / Allen-Cahn方程式 / Cahn-Hilliard方程式 |
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| Research Abstract |
1.2つの同等な安定点を持つポテンシャルを外力項として持つAllen-Cahn方程式にノイズをつけた確率偏微分方程式を考える。この式に関しては空間次元1次元でReznikoffとの共同研究で、アクション最小解の特徴付けを過去数年の研究で行い、そのガンマ極限や最小解について明らかにした。一方、一般空間次元に関してはほとんど何も知られていない。この場合は大偏差原理に動機付けられたaction functionalの最小化問題の特別な時空スケールリミットを取ると、平均曲率と界面速度の和の2乗を曲面上時空で積分したものが最小化すべき量となっている。この汎関数は特別な最小化解のクラスとして、界面速度=一平均曲率の平均曲率流が汎関数値零解としてすべて含まれる。この幾何学的な最小化問題をまず変分法の立場から理解する為、東北大学の岡部氏と初期時刻と最終時刻の曲線を与えたときにこれをつなぐ非自明な最小解が存在するかどうかについて、平均曲率流の近傍で問題を線形化した摂動問題として考え、準備的な様々な結果を得た。
2.界面を隔てて同密度で2相分離した非線形粘性(ノンニュートニアン)・非圧縮性流体の運動を考える。ここで界面は流体によって移動するのみでなく平均曲率に比例した速度を加えた速さで移動すると仮定する。また流体も界面から平均曲率に比例した力を界面上で受けると仮定する。これら平均曲率の効果は物理的な仮定と必ずしも一致するわけではないが、界面の特異性を避けるための数値計算における正則化の一手法とも考えられる。この問題の弱解を構成するためAllen-Cahn方程式とNavier-Stokes方程式をカップルさせた問題を解析し、適切な非線形粘性を入れた場合には弱解が常に存在する事を示し、現在論文を準備中である
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