2005 Fiscal Year Annual Research Report
アフィン量子群のレベル・ゼロ表現のフュージョン積と結晶基底の研究
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17540008
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
内藤 聡 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 助教授 (60252160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 純 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (20166416)
竹山 美宏 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (60375392)
佐垣 大輔 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 助手 (40344866)
尾角 正人 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (70221843)
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| Keywords | アフィン量子群 / レベル・ゼロ基本表現 / 結晶基底 / テンソル積 / Lakshmiba-Seshadri path / path model / エネルギー / Kostka多項式 |
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| Research Abstract |
アフィン・リー環$g$の一般のレベル・ゼロの整ウエイト$lambda in P$を型とする(カルタン部分代数$h$の実型$h_{R}$の双対空間$h_{R}^*$に値を取る)Lakshmibai-Seshadri path (LS path)の全体を$B(lambda)$とする。我々のこれまでの研究によって、このLS path crystal $B(lambda)$から、$g$のnull root $delta$をmoduloとしてpath達を同一視する操作を施して($h_{R}^*/Rdelta$に値を取る)path crystal $B(lambda)_{cl}$を作れば、これはアフィン量子群$U_{q}^{prime}(g)$の(有限次元かつ既約である)レベル・ゼロ基本表現の結晶基底達のテンソル積$B$とクリスタルとして同型になる事が分かっている。
本年度の研究において、我々は先ず、型が一般のレベル・ゼロの整ウエイト$lambda in P$のLS path crystal $B(lambda)$の連結成分への分解を具体的に決定した。特に、LS path crystal $B(lambda)$の各連結成分に含まれる全てのextremalウエイトパスの形を完全に決定した。そして、この結果、及びその証明に用いられた様々な技法を使って、path crystal $B(lambda)_{cl}$上にdegree functionなる、非正の整数値を取る関数を定義した。さらに、それが上記の同型を通して、尾角正人氏等が(可解格子模型の研究を背景として)導入した、テンソル積クリスタル$B$上の"エネルギー関数"と一致する事を証明した。この事から、テンソル積クリスタル$B$に付随するone-dimensional configuration sum (1dcsum)を、LS path crystal $B(lambda)$の言葉で完全に記述出来る事が分かった。特に、アフィン・リー環$g$が$A_{n}^{(1)}$型の場合を考える事により、Kostka多項式のLS path crystal $B(lambda)$による記述が得られた。
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