2006 Fiscal Year Annual Research Report
アフィン量子群のレベル・ゼロ表現のフュージョン積と結晶基底の研究
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17540008
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
内藤 聡 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 助教授 (60252160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 純 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 教授 (20166416)
竹山 美宏 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 講師 (60375392)
佐垣 大輔 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 助手 (40344866)
尾角 正人 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 助教授 (70221843)
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| Keywords | アフィン量子群 / レベル・ゼロ表現 / 結晶基底 / Lakshmibai-Seshadriパス / パス模型 / エネルギー / degree関数 / extremalウエイト加群 |
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| Research Abstract |
アフィン・リー環$g$のレベル・ゼロの整ウエイト$lambda in P$を型とする(カルタン部分代数$h$の実形である$h_{R}^$の双対空間$h_{R}^{*}$に値を取る)Lakshmibai-Seshadri(LS)pathの全体を$B(lambda)$とする。そして、アフィン・リー環$g$に付随する量子群$U_{q}(g)$上の、整ウエイト$lambda in P$をextremalウエイトとするextremalウエイト加群を$V(lambda)$とする。
$lambda in P$がレベル・ゼロ基本ウエイト$pi_{i}$,$i in I_{O}$,の時には、この$B(pi_{i})$はextremalウエイト加群$V(pi_{i})$の結晶基底のクリスタルとしての実現を与える事が分かっている。又、一般のレベル・ゼロの優整ウエイト$lambda in P$についても、LS pathのクリスタル$B(lambda)$から、$g$のnull root $delta$をmoduloとしてpath達を同一視する操作を施して(商ベクトル空間$h_{R}^{*}/Rdelta$に値を取る)pathのクリスタル$B(lambda)_{cl}$を作れば、これはアフィン量子群$U_{q}^{prime}(g)$の(有限次元かつ既約な)レベル・ゼロ基本表現$W(pi_{i})$,$i in I_{O}$,の結晶基底達のテンソル積クリスタル$B$とクリスタルとして同型である事も、分かっている。
そこで、我々は、一般のレベル・ゼロの優整ウエイトである$lambda in P$に対して、pathクリスタル$B(lambda)_{cl}$上にdegree関数なるものを定義し、それが上記のクリスタルとしての同型を通して、尾角正人氏等が導入した(テンソル積クリスタル)$B$上の"エネルギー関数"と一致する事を証明した。特に、アフィン・リー環$g$が$A_{n}^{(1)}$型の場合を考える事によって、Kostka多項式についてのLS pathのクリスタル$B(lambda)$を用いた記述を得た。
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