2007 Fiscal Year Annual Research Report
超幾何微分方程式とそのシュワルツ函数に関する数論的研究
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17540011
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
志賀 弘典 Chiba University, 大学院・理学研究科, 教授 (90009605)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
北詰 正顕 千葉大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60204898)
杉山 健一 千葉大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90206441)
松田 茂樹 千葉大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90272301)
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| Keywords | 算術幾何平均 / 多変数保型形式 / 多変数超幾何函数 / アーベル多様体の虚数乗法 / シュワルツ写像 / 周期写像 |
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| Research Abstract |
1)18世紀Gaussによって発見された算術幾何平均函数と超幾何函数の関係式のVariantと見なされる定理が1991年Borwein兄弟によって提示された。しかし,これらGaussおよびBorwein兄弟の定理の多変数版となる結果はこれまで発見されていなかった。研究代表者は,Gauss後200年を経て,最初の意義ある2変数版算術幾何平均函数をBorwein兄弟の定理の拡張としそ確立した。(結果はJNT論文で発表)。鍵となるのは2次元複素超球上でのPicard modular formの詳細な解析と一般化された虚数乗法を持つ志村多様体の概念であった。
2)ガウス超幾何微分方程式に対するシュワルツ写像は、別の側面から見ると超幾何型代数曲線上の第2種微分の周期の比となっている。代数値変数に対してシュワルツ写像の値は一般には超越数である。例外的な代数値がどればど存在するかは,Andre-Oort予想と関連し,解析的数論の興味ある問題である。研究代表者は,固定された超幾何曲線から生じるさまざまな第2種微分を同時に考察して,シュワルツ写像がどれほどの代数値を取りうるかを研究した。その背景には,AbeI多様体の虚数乗法論的性質がある。
3)研究代表者はその大学院学生とともにシュワルツ写像の代数値の研究を多変数超幾何微分方程式の場合に拡張した研究を開始している。これらについては,1変数の場合と呼応する幾つかの結果を既に得ている。また,定義領域が複素超球でなくIV型対称有界領域となる場合の保型函数論的研究を大学生と行い,結果を得ている。これらは2008年度に論文として発表する計画である。
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