正標数の非可換ホッジ理論とクリスタリン構造

2006 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17540015
• Research Institution: Ochanomizu University
• Principal Investigator: 横川 光司 お茶の水女子大学, 大学院人間文化研究科, 教授 (40240189)
• Keywords: 代数学 / トポロジー / 非可換ホッジ理論 / ホモトピー数学 / クリスタリン / 正標数 / 代数幾何学 / ベクトル束

Research Abstract

昨年度発表されたC.SimpsonによるD加群の完全複体の無限大スタック上のホッジフィルトレーションに関する論文は,本研究にとって大変重要なものであるが,残念なことにこのプレプリントにはほとんどの定理に完全な証明がなく,それを解読するのにかなりの時間を費やした.さらに,ベクトル層の理論を正標数の場合に拡張するために,古典的なRobyの結果をベクトル層の理論に翻訳することにかなりの時間と労力を費やした.これらの研究のためホモトピーの専門家であり,ホモトピー数学にも詳しい京都大学の原田氏のもとを訪れることが必要であった.そのため当初予定していた物品費の多くを国内旅費に使わなければならなかった.物品費で購入することを予定していた本やソフトウェアの購入は今年度は見送り,来年度以降に使うことにした.
また,新たに広島大学の伊藤氏と正標数での局面上の非可換ホッジ理論についての研究を初めることとなった.この研究は非可換ホッジ理論とクリスタリン構造の関係を理解する上でのよい具体例を提供することになると期待している.非可換ホッジ理論は高次の代数的スタックの理論と密接な関係を持っており,それらはホモトピー数学と呼ばれる数学の新しい分野に属している.ホモトピー数学ではこれまでの数学で無視されていた同値関係を詳しく調べるもので非可換コホモロジーの理論を解釈する上で不可欠のものである.その対象は数学のあらゆる分野で手つかずのまま埋もれていることも多い.そのため関係がありそうな研究会に出席し,その分野の専門家との意見交換をした.これにも旅費を多く必要としたので,当初の計画とは予算の割り振りの面で大きく食い違ってしまった.