| Research Abstract |
射影多様体に対するCastelnuovo-Mumford regularityは,定義方程式,generic initial idealの生成元の次数,ヒルベルト関数などに関係する重要な不変量である.他方,regularityと多重割線の間には密接な関係があることが期待されている.本年度,この観点から,射影多様体の埋め込みの幾何学的な性質である多重割線,射影多様体を含む次数の小さい超曲面に重点をおいて研究を行った.昨年度までの研究により,余次元がe,既約なd次数,切断面種数gの非特異射影多様体の多重割線の交点数の上限はd-e+1-gであることが,標数が0の体上定義されている場合に,示されていた.第1に,同様のことが,正標数の体上に定義されている場合にも成立することを証明した.他方で,射影多様体が非特異とは限らない一般の場合に,多重割線の交点数の上限は,d-e+1であることを示す問題が残されている.第2に,この問題の部分的な解決として,割線からの射影が準有限射となる場合(この場合は,非特異な場合を含んでいる)について,この問題を肯定的に解決した.解決の際に重要になるのが,射影多様体を含む低次数の超平面の存在であったので,これをもとに,射影多様体は,d-e+1次以下の超曲面の共通部分として表わせるかの問題を考察した.この結果,第3に,射影多様体Xを含むd-e+1次以下の超平面の共通部分は,Xとセグレローカスと呼ばれる部分集合と有限個の点を除くと,スキームとして一致すること,更に,非特異な射影多様体のセグレローカスは有限個の点であることを証明した.これにより,非特異な射影多様体Xを含むd-e+1次以下の超平面の共通部分は,有限個の点を除くと,Xとスキームとして一致するという定理を得た.
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