一般バーンサイド環と一般素数グラフによる群の構造の解明

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17540028
• Research Institution: Yamaguchi University
• Principal Investigator: 飯寄 信保 山口大学, 教育学部, 助教授 (00241779)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 北本 卓也 山口大学, 教育学部, 助教授 (30241780) ; 久田見 守 山口大学, 理学部, 教授 (80034734) ; 宮澤 康行 山口大学, 理学部, 助教授 (60263761)
• Keywords: 有限群 / 素数グラフ / 部分群束 / バーンサイド環 / 単純群

Research Abstract

本年度の研究目的として次の2点を挙げていた:(1)研究課題の項目のファイトによるcoherentの理論の拡張、(2)Lie型の単純群に対してその部分群束の代数的、位相的考察の具体例の作成および計算機による解析のためのプログラミング作成補助。このうち、(1)については、coherentという形ではないが、それに相当するものとしてバーンサイド環(および指標環)のイデアルの分解とそのサポートとの関係という形で捕らえることができることがわかり、基本的な理論付けが完了することができた。これは、群の置換指標の一般化に関する理論とみなすことができる。(2)ついてはLie型の単純群の部分群束の解析にするためには、小さい群(特にp群についての)での部分群束と群の構造を詳細に調べなければならないことが判明し、小さい群に対する理論付けを一応完成させた。また、これに基づき、対称群・交代群の部分群束について一般素数グラフからの考察を行い、{2,3}部分群からなる部分群束を含む部分部分群束は、これらの群を一意的に決定することができることを示した。この考察の課程で、部分束からできる可換環とその部分環である部分群束に付随する環(バーンサイド環)の埋め込み方が非常に重要であることがわかった。それについて考察をし、非可換単純群のほとんどが、この埋め込み方で特徴づけ可能であることを示すことができた。以上のことは、現在投稿中の論文「A generalization of prime graphs of finite groups II」において、(1)については、1,2,3、および6章に、また(2)については残る、4,5章に詳しく解説した。