| Research Abstract |
昨年に引き続いてリーマン多様体上の1点pからの距離関数d_pのモース理論の研究を行なった.d_pは微分可能でない点を許容し,そのような点はpの切断跡(cut locus)に含まれる.他方,距離関数に対しても危点の概念が定義されるが,危点では距離関数は微分可能ではない.危点を含まない場合には,イソトピー補題が塩濱勝博等により既に得られており,多くの幾何学的応用を持つ.他方,危点を許容する場合,まず危点の指数を定義する必要がある.代表者の酒井は,リーマン計量が自然な(共役点を持たない)条件を満たすとき分担者の伊藤仁一と共にこれを実行し,幾何学的な立場から距離関数のモース理論を展開していたが,その際,切断跡が良い構造(stratification)を持っていることを示すのが重要であり,危点qの指数はp,qを結ぶ最短測地線の個数とqを含むstratumへの距離関数の制限(これは微分可能な関数で,qはその危点である)のqでの通常の指数を用いて書ける.今年度はさらに改良を加えて,距離関数のモース理論としてこれまで得られた部分を纏めて投稿し,受理されている.また,酒井は計量不変量の間に成り立つ不等式として,種数2の閉曲面における等縮不等式について検討した.完全な解決には程遠いが,検討の結果を福岡大学微分幾何研究会で報告した.清原一吉は可積分系の立場から切断跡の構造を詳細に研究し,また定期的に開いた談話会で,清原と勝田篤は酒井の研究に助言を行った.森義之は量子コンピュータを研究し,コンピュータ活用の点で酒井に助言を行った.
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