2006 Fiscal Year Annual Research Report
変換群論におけるG多様体と不動点多様体の特性数に関する研究
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17540082
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
小宮 克弘 山口大学, 大学院理工学研究科, 教授 (00034744)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
安藤 良文 山口大学, 大学院理工学研究科, 教授 (80001840)
宮澤 康行 山口大学, 大学院理工学研究科, 助教授 (60263761)
内藤 博夫 山口大学, 大学院理工学研究科, 教授 (10127772)
中内 伸光 山口大学, 大学院理工学研究科, 助教授 (50180237)
幡谷 泰史 山口大学, 大学院理工学研究科, 助手 (20294621)
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| Keywords | 変換群論 / G多様体 / 不動点多様体 / 特性数 / オイラー標数 / オイラー類 / 法表現 / Borsuk-Ulamの定理 |
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| Research Abstract |
1.GをコンパクトLie群とし,MをコンパクトG多様体とする。Gの閉部分群Hに対して,その作用の不動点多様体をM^Hで表す。いろんな閉部分群Hに対してM^Hのオイラー標数x(M^H)の間には合同関係(arithmetic congruence)が成立する。M^Hの次元が零,すなわちM^Hが有限個の孤立した点の集合であれば,M^Hのオイラー標数はM^Hの点の個数を表す。このことから次の結果が得られた:
Gがコンパクト可換Lie群で,Mが奇数次元の閉G多様体,不動点多様体M^Gの次元が零のとき,M^Gは偶数個の孤立点の集合である。またこのとき,Mの次元が奇数であることより,Gの閉部分群Hで,G/Hが位数2の巡回群となるものが存在することがわかる。このようなHの存在がGに対して一意的であれば,M^Gの点を2点ずつ対にし,それらの2点における法表現はHの表現として互いに同型となるようにできることもわかった。さらにこのことよりGが位数2または4の巡回群であれば,これら2つの法表現はGの表現としても互いに同型になる。
2.GをコンパクトLie群とし,VをGの線形(直交)表現とするとき,その単位球面をSVで表す。Uをもう1つの表現とするとき,同変写像:SV→SUの存在・非存在に関する問題は古典的なBorsuk-Ulamの定理に端を発する問題である。Gが可換の場合は多くの結果が得られているが,非可換の場合は得られた結果は少ない。本研究ではGが非可換の場合にも研究の対象を広げ,同変K理論における表現の特性類を援用する方法による今後の研究の見通しが得られた。
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