2005 Fiscal Year Annual Research Report
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17540142
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
有澤 真理子 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (50312632)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大林 茂 東北大学, 流体科学研究所, 教授 (80183028)
大西 匡光 大阪大学, 大学院・経済学研究科, 教授 (10160566)
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| Keywords | 非線型積分偏微分方程式 / 最適制御 / レヴィー過程 / ジャンプ付株価モデル / 粘性解理論 / エルゴード問題 / 社会科学の数理モデル / 数値解析 |
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| Research Abstract |
レヴィー作用素を含む、非線型退化楕円型又は法物型積分偏微分方程式の研究を行った。これらの方程式は、数理ファイナンスにおいて、従来のブラウン運動による株価モデルを、ジャンプ付過程によるモデルに置き換える時に現れ、近年注目を集めている。筆者は、これらの方程式に対して、粘性解の定義を導入し直して、新しい解の枠組みの中で、解の一意存在性を示した。(従来の解の定義では、レヴィー作用素が特異な積分測度を持つときに対して、十分な結果が得られてはいなかった。)この研究結果"A new definition of viscosity solution for a class of second order degenerate elliptic integro-differential equations"は、国際雑誌Annales de IHP, Analyse Nonlineaireに受理された。(2005年9月)また、これは、2つの数理ファイナンスの国際会議(京都大学(経済学部、大和證券主催、7月)と立命館大学(理工学部)3月)、数値解析の国際ワークショップ(American Institut of Mathematics 8月)で招待講演され、パリ第6大学、ツール大学、エコールポリテクニック、パリ第9大学等のセミナーで発表された。また、筆者は上記の新しく導入された粘性解の概念に基づき、レヴィー作用素を含む非線型積分偏微分方程式に対する、強最大値原理、粘性解の滑らかさ、エルゴード問題を研究し、その結果を国際雑誌に投稿中である。(その一部の結果は、上記国際会議、大学セミナーで発表された。)
筆者は、レヴィー作用素の数値解析の理論的結果(安定性等)を上記の粘性解理論に付随して得、プログラムについての助言を分担者の大林から得ている。また、分担者の大西、関根(長期海外出張のため8月まで)とは、京都大学経済学部における国際会議の際に、海外研究協力者R.Cont(エコールポリテクニック)と共に勉強会を開き、研究情報の交換を行った。更に、筆者は、平成17年9月-11月の期間、仏国エコールポリテクニックに滞在し、R.Contと研究交流を持つとともに、海外研究協力者P.-L.Lions, O.Pironneauと共同研究を進めた。
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