2005 Fiscal Year Annual Research Report
準線形退化楕円型方程式の線形化問題と特異解の構造研究
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17540146
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
堀内 利郎 茨城大学, 理学部, 教授 (80157057)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
下村 勝孝 茨城大学, 理学部, 助教授 (00201559)
安藤 広 茨城大学, 理学部, 講師 (60292471)
中井 英一 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (60259900)
佐藤 得志 東北大学, 大学院・理学研究科, 助手 (00261545)
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| Keywords | 退化楕円型方程式 / 線形化問題 / 特異解 / 非線形楕円型方程式 / P-調和作用素 / ハーディーの不等式 / 最小解 |
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| Research Abstract |
本研究の目的は,領域の内部や境界で様々に退化する楕円型作用素に関する諸問題を,特に最近重要と考えられている線形化作用素の解析と特異解の構造に焦点を当てて,研究分担者が各自の専門分野間の有機的関係を深めながら,新しい進展を目指して総合的な共同研究を行うことにある.本年度には以下の成果があった。
1.準線形退化楕円型方程式の線形化法による研究
準線形退化楕円型作用素を線形化すれば、退化楕円型作用素があらわれ、定義域の違い等から従来の陰関数定理や分岐理論は適応できない。そこで最小解の弱い安定性に着目し、退化楕円型方程式の理論を用いて最小解の爆発や分岐理論の構築を目指し、さらにもとの非線形方程式の解の存在や安定性がある程度解明された。
2.退化楕円方程式の特異解の研究
主要部がp調和作用素を含む準線形退化楕円型方程式において、右辺に強い非線形項を持つ場合における特異解の存在性やその性質が詳しく研究された.特に特異解において線形化された(退化楕円型)作用素の解析が行われ、最小固有値の非負性とハーディー型不等式との関係などが明らかにされた。また、これらの理論をP重調和作用素に拡張する試みがある程度まで行われた。
3.非線型楕円型変分問題の特異解の研究
非線形変分問題が非有界関数やディラック測度などの特異極値関数を持つ場合の理論構成を目指している.この問題に対するオイラー・ラグランジュ方程式は準線形となるので上記の研究を応用し特異解の構造解析をする.具体的には,ソボレフ型不等式の極値関数決定等が研究され、具体的に計算された.
4.退化楕円型作用素の特異解のポテンシャル論的研究
多重放物型作用素が平均値の性質を中心に研究された。また、α-パラボリック作用素やα-Bergman空間とそこへの射影の性質が詳しく調べられ、多くの性質が明らかにされた
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