2006 Fiscal Year Annual Research Report
関数解析的手法による微分方程式の解の存在とその性質についての研究
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17540149
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
塩路 直樹 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 助教授 (50215943)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
平野 載倫 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (80134815)
玉野 研一 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 教授 (90171892)
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| Keywords | 変分法 / 楕円型方程式 / 多重解 / 符号変化解 / ハーディポテンシャル / ノイマン問題 |
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| Research Abstract |
次の楕円型問題に対して、解の多重存在についての結果を得た。
(1){-Δu+μu=Q(x)|u|^<p-1>u in R^N,
u∈H^1(R^N),
ただし、μ>0,N【greater than or equal】3,1<p<(N+2)/(N-2),Q∈C(R^N, R)とする。Q(x)→1(|x|→∞)とし、Qは異なる2点で最大値Mをとるとすると、十分大きなμ>0に対して、(1)は、少なくとも3つの正値解と、少なくとも4つの符号変化する解の組が存在することを示した。
この定理と似たものがCao-Noussair[AIHP 13,1996]によって得られているが、彼らの証明は、一般には成立しないu→∫_<RN>|▽u^+|^2dx : H^1(Ω)→Rの微分可能性を使っているというギャップがある。また、
N_*={u∈H^1(R^N):u^±≠0,∫_<RN>(|▽u^±|^2+μ|u±|^2)dx=∫_<RN>Q(x)|u^±|^<p+1>dx},
Iu=1/2∫_<RN>(|▽u|^2+μ|u|^2)dx-1/(p+1)|∫_<RN>Q(x)|u|^<p+1>dx, u∈H^1(R^N)
と置くと、Cao-Noussairが議論している符号変化する解は、N_*におけるIの極小解に対応するものだけであるが、ここでは、mountain passに対応するエネルギーの高い解の存在も示した。Qの挙動に付加条件をつけて、さらにエネルギーが高い解の存在も示した。つまり、先ほどの解は線に対するmountain passで得られたものであるが、最後の解は、面に対するmountain passで得られたものである。
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