2007 Fiscal Year Annual Research Report
関数解析的手法による微分方程式の解の存在とその性質についての研究
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17540149
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
塩路 直樹 Yokohama National University, 大学院・環境情報研究院, 准教授 (50215943)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
平野 載倫 横浜国立大学, 大学院・環境情報研究院, 教授 (80134815)
玉野 研一 横浜国立大学, 大学院・工学研究院, 教授 (90171892)
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| Keywords | 変分法 / 楕円型方程式 / 多重解 / 符号変化解 / ハーディーポテンシャル / ノイマン問題 / 変動指数 |
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| Research Abstract |
N〓3,1<p<(N+2)/(N-2),0<λ<(N-2)^2/4とする。方程式u∈H^1(R^N),-△u+u=|u|^<p-1>u in R^Nに対する正値解の最小エネルギーをcとする。このとき、方程式u∈H^1(R^N),-△u+u-λu/|x|^2=|u|^<p-1>u in R^Nの符号変化解で、エネルギーが2cより小さいものが2つ存在し、λ>0が十分小さければ、それらは区別出来ることを示した。
μ>0,N〓3,1<P<(N+2)/(N-2)とする。Q:R^N→Rは、Q(x)>1(x∈R^N)及びQ(x)→1(|x|→∝)を満たし、異なる2点において最大値を取る連続関数とする。Qが適当な条件を満たし、μ>0が十分大きいとき、方程式u∈H^1(R^N),-△u+μu=Q(x)|u|^<p-1>u in R^Nは、複数個の符号変化解を持つことを示した。得られた符号変化解には、極小のエネルギーを持つものだけでなく、mountain passに対応するものも含まれている。
ΩはR^N(N〓3)の有界領域とし、2*=2N/(N-2)と置く。p:Ω→(2,2*]はΩのある点で2*を取る変動指数とし、方程式-△u=|u|^<p(x)-2>u in Ω, u=0 on ∂Ωの正値解の存在について論じた。W^<1,2>_0(Ω)からL^<p(・)>(Ω)への埋め込みはコンパクトになることについての十分条件を提示し、その結果として、上記方程式の正値解の存在を示した。
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