| Research Abstract |
以下,(Ω, Σ, Ρ)をアトムを持たない確率空間とし,(X,‖・‖x)をΩ上のBanach関数空間とする.一様可積分なマルチンゲールf=(f_n, F_n)に対し,E[|f_∝-f_<n-1>||F_n]【less than or equal】E[γ|F_n](n=0,1,2,...)を満たす確率変数γ∈Xの全体をГ(X, f)で表し,γ∈Г(X, f)に関する‖γ‖xの下限を‖f‖_<κ(x)>で表す.κ(X)はGarsiaの定義したマルチンゲールのBanach空間κ_pの拡張になっている.実際,X=L_pであれば,κ(X)はκ_pと一致する.
一様可積分なマルチンゲールf=(f_n, F_n)に対し,Af_n=E[|f_∝||F_n](n=0,1,2,...)と置いて新たなマルチンゲールAf=(Af_n, F_n)を対応させる.近年,研究代表者(菊池)は,Xが再配分不変性をもち,そのBoyd indexが条件α_x>0かつβ_x<1を満たすとき,c‖f_∝‖x【less than or equal】‖f‖_<k(x)>【less than or equal】κ(x)C‖f_∝‖xなる不等式が成り立つことを証明した.この事実より,Xが上述の条件を満たすとき,
c‖Af‖_<k(x)>【less than or equal】‖f‖_<κ(x)>【less than or equal】C‖Af‖_<k(x)>
なる不等式の成り立つことがわかる.このような不等式の成立する関数空間の特徴付けを与えるべく研究を進めた結果,上記の不等式が成立するための必要十分条件が,「同値的にノルムを付け替えることにより,Xは再配分不変空間となり,そのBoyd indexが条件α_x>0かつβ_x<1を満たす」こととであることを解明した.マルチンゲールのHardy空間に対する類似の結果が,研究代表者により既に得られており,本研究は,研究代表者がこれまで進めてきた研究の流れを汲む結果である.尚,この研究は,研究代表者が指導している大学院の学生との共同研究であり,論文として掲載されることが決定している.
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