| Research Abstract |
本研究の目的は場の非線型性によって摂動を受けた波動関数の漸近挙動を解析し,その構造を明らかにする事である.特に,本研究で注目しているのは長距離型の非線型摂動である.即ち,時間大域的に波動関数が存在するにも拘らず,時刻無限大において,摂動を全く受けていない波動関数には漸近しないような波動関数を生み出す摂動である.ここで,漸近の意味は,エネルギー・ノルムの意味においてである.従って,まず,時刻無限大において斉次線型方程式の解に漸近しないような時間大域解を持つ非線型方程式を探し,次に,その非線型方程式の解の漸近挙動が一般に斉次線型方程式の解とは本質的に異なることを示す事が課題となる.
上述の問題について,我々は幾つかの自明ではない具体例を見つける事に成功した.その様な非線型方程式の解の漸近挙動は,斉次線型方程式の解の漸近挙動と比較して,性質が悪い場合と良い場合に大別される.前者の場合には,非線型方程式に斉次線型方程式の解を代入して得られる非斉次線型方程式の解がもとの解の挙動を特徴付ける事が分かった.但し,線型方程式とは言え,非斉次の場合にはその扱いはそれ程単純ではない.我々は,適当な初期値を構成する事によって,極限方程式の解の挙動が斉次線型方程式の解のそれと実際に異なる事を示した.
一方,後者の場合の扱いはより難しく,その挙動は放射場の概念と強く結びついている事が分かってきた.別の言い方をすると,解の挙動を支配する方程式自体,波動方程式から一階の常微分方程式へと大きく変化するのである.我々は,都合の良い常微分方程式の解を発見的に構成し,もとの解の挙動を数学的に明らかにした.
この様に長距離型の非線型摂動の影響は複雑かつ多様である.
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