2006 Fiscal Year Annual Research Report
群同変性を用いた幾何学的発展方程式の解の安定性の研究
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17540188
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
長澤 壮之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小池 茂昭 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (90205295)
太田 雅人 埼玉大学, 理工学研究科, 助教授 (00291394)
阪本 邦夫 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70089829)
高坂 良史 室蘭工業大学, 工学部, 助教授 (00360967)
立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 教授 (50188257)
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| Keywords | 超曲面の発展方程式 / ウィルモア汎関数 / ヘルフリッヒ変分問題 / 勾配流 / 安定性 / 正則性 |
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| Research Abstract |
本研究では、超曲面の族に定義される汎関数に対する勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最悪傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。自然界に現れる曲線や曲面の形状は、何らかの意味で安定なものである。安定度を測るものが汎関数である。従って、勾配流の収束先は、エネルギー的に安定なものであると考えられる。
長澤は、汎関数として曲線に対するウィルモア汎関数を考えた。具体的には、この汎関数に、曲線の長さとそれが囲む領域の面積を指定した制限付極値問題(ヘルフリッヒ変分問題)に対する勾配流を構成した。曲線が円である場合は、この制限は退化し、ラグランジュの未定乗数が一意に定まらないため、この方法による勾配流の構成は困難である。そこで、特異極限によって制約条件を満たすような近似方程式を考え、近似パラメータに関する一様有界性を示し、更に、その特異極限の存在を証明した。現在、論文準備中である。
勾配流方程式は、偏微分方程式の分類でいえば、放物型になる事が多い。小池は、非線形飲物型偏微分方程式やその定常問題に相当する非線形楕円型偏微分方程式に対する最大値原理や比較定理について研究し、論文として公表した。太田は、双曲型偏微分方程式で記述される発展方程式の解の安定性について研究し、論文として公表した。阪本は、CR構造を持つ多様体(CR多様体)の研究を行い、CR幾何に適したEinstein性を定義し、その性質を調べた。これらの方程式を関数解析の手法で解く場合、非線形半群の理論が、用いられる事かおる。高坂は、この理論の研究を進めており、論文に著した。プレプリントの段階である。幾何学的変分問題の解は、非線形方程式の弱解であるが、その正則性の有無を調べる事は重要である。立川は、不連続性を持つ積分汎関数に対する最小点の正則性について研究し、論文として公表した。
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