2007 Fiscal Year Annual Research Report
非線形放物型偏微分方程式の自己相似構造と解の特異性
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17540194
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
内藤 雄基 Kobe University, 工学研究科, 准教授 (10231458)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (40232227)
桑村 雅隆 神戸大学, 人間発達環境学研究科, 准教授 (30270333)
鈴木 貴 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40114516)
佐藤 得志 東北大学, 理学研究科, 助教 (00261545)
田中 敏 岡山理科大学, 理学部, 講師 (90331959)
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| Keywords | 非線形問題 / 自己相似解 / 放物型偏微分方程式 / 変分法 / 走化性方程式系 |
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| Research Abstract |
相似変換に関する不変性をもつ非線形放物型偏微分方程式およびその系に対して、自己相似解の解構造を解明すると共に、時間大域解の漸近挙動における自己相似解の役割について考察を行った。とくに今年度は、半線形熱方程式および走化性方程式系における自己相似解の構造とその役割について研究を重点的に行った。
1.Sobolevの意味で臨界的な増大度の非線形項をもつ非線形熱方程式の前向き自己相似解の存在および解の多重性について考察を行った。ここでは、楕円型偏微分方程式における手法である比較定理および変分的手法により解の存在を示した。とくに臨界指数増大度の非線形項をもつ方程式においては、一般にPalais-Smaile条件を満たさないことが知られているが、ここでは空間次元3,4,5の場合にコンパクト性が回復することを見い出すことができ、適当な初期条件に対してsecond solutionの存在を示すことができた。一方、空間次元6以上の場合には、Pohozaev型の恒等式を構成することによりsecond solutionの非存在を示すことができ、これにより解の一意性の結果を得た。
2.走化性を記述する方程式系に対して、その自己相似解の構造と役割について考察を行った。前向き自己相似解については、解の挙動とL^<1^>ノルムとの関連を明らかにすることができた。また、技術的と思われる仮定を必要とするが一般の解の自己相似解への収束を示すことができた。後ろ向き自己相似解については空間2次元の場合には、適当なクラスの自己相似解は存在しないこと、そして一般の解の爆発形状も自己相似的とは成り得ないことを示した。空間3次元以上の場合には、可算無限個の解の存在が示されているが、それらの性質および役割については、さらに今後の研究で解明を目指したい。
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