2005 Fiscal Year Annual Research Report
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17540205
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
山崎 昌男 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20174659)
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
柴田 徹太郎 広島大学, 大学院・工学研究科, 教授 (90216010)
倉田 和浩 首都大学東京, 都市教養学部理工学系, 教授 (10186489)
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| Keywords | 変分問題 / 非線型楕円型方程式 / 特異摂動問題 / ハミルトン系 |
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| Research Abstract |
非線型楕円型方程式に関する研究を行った.特に拡散係数を特異摂動パラメーターとする特異摂動問題の考察を行った.このような問題では,パラメーターが微小なとき高振動をもつ解があらわれ,一般に非常に複雑な振る舞いを見せる.ここでは空間次元が1の場合,解の挙動と方程式の空間変数xへの依存の関連をenvelope, limit energy関数,adiabatic profile等のadiabatic invariantsを用い表し,高振動解を記述した.
さらに与えられたadmissibleなadiabatic invariantをもつ高振動解の族の存在の考察を行い,Allen-Cahn方程式,Fisher方程式,非線型シュレディンガー方程式を対象としてこれらを示すことができた.この結果をさらに一般に力学系の理論として確立すること,および方程式系あるいは2次元以上への拡張は非常に興味ある問題である.
また一般次元においてBartsch-Pankov-Wangの設定の下で非線型シュレディンガー方程式を扱った.この場合,極限方程式は非常に多くの解をもつことが知られている.特異摂動問題の設定の下で接続問題を扱い,ポテンシャルウェルが複数個存在するとき,エネルギー最小解と限らないミニマックス解も接続可能であることを証明した,なお非線型楕円型方程式に関しては数理生物モデルにおけるdisruptedな環境に対応する退化した方程式に対して様々なパターンをもつ安定解の構成にも成功している.
ハミルトン系に関しては2体問題をモデルとしたprescribed energy問題に関してHofer-Viterboの手法を駆使し,閉軌道が存在するnon-compact, non-convexな曲面のクラスを見いだした.
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