| Research Abstract |
宮川は非圧縮粘性流体の2次元流の運動を全平面および単位円の外部の領域で考察し,直交群の有限部分群の作用に対して不変な流れ(対称な流れ)を完全に分類した.それによって流れの対称性の度合と対応する速度場の時間・空間的減衰性との完全な対応関係が明らかになった.この議論では,流れを記述する積分方程式の積分項を展開して得られる斉次多項式の回転不変性の研究が基本的に重要である.すなわち対称性が艮くなるほど,より高次の多項式が恒等的に零となり,その結果速度場の減衰性が良くなる.この事実は3次元流でも見られるがその対応関係は.2次元の揚合ほど簡明ではなく,目下研究途上にある.3次元流に対する研究の要は,直交群の部分群の作用に対して不変な斉次多項式が自明であるための条件を,その多項式の次数や,扱う部分群の位数を用いて厳密に述べることにある.これに関連する研究は,現在加須栄との共同作業として継続中である.
宮川はまた,上記の研究の過程において,理想流体の理論で古来有名なダランベールの逆理が,定常流のみならず非定常流でも生起可能であることを見出し,対応する圧力場の可積分性と逆理の生起との厳密な対応関係を与えた.それを用いて,流れの対称性の増大が逆理を引き起こすことを照明した.またそのような対称性をもつ理想流体の2次元流の存在をも示した.
福本は粘性流体内の渦輪の運動を扱い,その運動の安定性と不安定性を論じ,渦運動においては対象性に由来する運動の不安定化が起こり得ることを示した.結果を記述するために曲率不安定性なる新概念を導入することにより,現象の精密な解析と結果の明快な記述が可能になった.この概念はさらに一般の渦糸の安定性や位相型の時間変化を記述するのに適した形をしたおり,渦の運動学における新しい概念として理論の中に定着し,重要な役割を果たすことが期待される.
小俣は水面上の気泡の運動を記述する方程式について研究し,初期値問題の近似解を構成し,その長時間挙動を論じた.数値実験によれば,形が時間とともに変化する気泡がある対称性をもてば,時間の経過とともにある対称な気泡に漸近することが観察される.しかし扱うべき問題がいわゆる双曲型の問題であるために,現段階では弱解の構成すらむずかしく,研究は数値実験レベルに留まっている.数値的に検証されるこの近似解の漸近挙動を厳密に証明するのが次の課題である.
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