2017 Fiscal Year Annual Research Report
複雑領域のポテンシャル解析の深化―非線形PDEと理想境界への応用
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17H01092
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
相川 弘明 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20137889)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
正宗 淳 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50706538)
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
利根川 吉廣 東京工業大学, 理学院, 教授 (80296748)
倉田 和浩 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (10186489)
志賀 啓成 東京工業大学, 理学院, 教授 (10154189)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
平田 賢太郎 広島大学, 理学研究科, 准教授 (30399795)
野瀬 敏洋 福岡工業大学, 工学部, 助教 (90637993)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ポテンシャル / 容量 / 調和 / 距離空間 / 平均曲率流 / 熱核 / 非線形変分問題 / ネットワーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
半径一定の容量密度平均の下限を考え，半径が大きくなったときの極限が0か1しかないことを距離測度空間に対して示した．Lipschitz領域やJohn領域をベースにもつシリンダー上の熱方程式の正値優解の境界にいたるまでの大域的可積分性を様々な角度から導いた．非コンパクト多様体上のキリング項を持つ拡散方程式に対して「一般化された熱の保存則」を提唱して，多様体が一般化された熱の保存則を満たすための必要十分条件を対応する作用素のリュービル性で与えた．距離空間の partition とその上の weight function の理論の応用の一つとして，距離空間の Ahlfors regular conformal dimension の p-energy を用いた特徴付けを行った．非線形抵抗ネットワークに関するポテンシャル論の研究として，ロイデンコンパクト化および倉持コンパクト化とその上のポアソン方程式の可解性，ディリクレ境界値問題のペロンの方法による解法，解の境界挙動を解析した．Brakkeの平均曲率流について，特に一次元曲率流の正則性について研究した．3種のFitzHugh-Nagumo反応拡散系に付随する非線形変分問題の最小化解の安定性やエネルギー評価等を研究した．開Riemann面のRunge性とstrong disk性についての同値性について新たな知見を得た．リーマン球面から有限個の点を除いたリーマン面について，その双曲距離の一様評価についても研究を行った．有界一様領域において境界に特異点をもつLane-Emden方程式の正値解の存在と非存在について境界増大評価やHarnack原理などのポテンシャル論研究を踏まえて優解劣解の議論に基づく証明を与えた．局所ゼータ関数の特異性及び有理型拡張を，ニュートン多面体が一点である非実解析的関数に付随する場合について調べた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者，分担者ともに活発な研究活動を行い，昨年度は査読付き論文10編（掲載予定を含む），招待講演15件（代表的なものを選定）を行った．ポテンシャル論を中核とし，複素解析，PDE，確率論，幾何学に渡る多様な研究成果が上がった．また，本研究課題で学術研究員として雇用していた原は日本学術振興会の特別研究員（学振PD）への申請が認められ，平成30年度から学振PDにステップアップすることになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度に上がった研究成果をさらに発展させ，研究代表者と分担者は協力してポテンシャル解析を様々な局面に応用していく．とくに研究代表者はアイルランドにおける国際研究集会で本プロジェクトを広く周知するとともに，新しい研究の方向性を探る．また，研究代表者と分担者・志賀は台湾における国際会議AIMSの特別Sessionを組織する．さらに，University of Missouriで平成30年7月に学位取得予定のAdisak Seesaneaを学術研究員として雇用し，本研究課題の非線形PDEと幾何に関連する分野の研究を推進する．
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