2019 Fiscal Year Annual Research Report
Anomalous diffusions on disordered media
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17H01093
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889)
Croydon David 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (50824182)
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
福島 竜輝 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (60527886)
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 確率論 / 複雑系 / 数理物理 / 解析学 / ポテンシャル論 / 統計力学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１。熊谷とCroydonは、Barlow氏と共同で二次元一様全域木の上のランダムウォークの熱核評価に現れる振動等の詳細な性質を調べ、さらに熱核のannealedの評価における非対角部分の指数がquenchedのそれと異なることを解明した。熊谷はまた、拡散項とジャンプ項からなる一般の対称確率過程について、対応する熱方程式の解が放物型ハルナック不等式や精密な熱核評価を持つための必要十分条件を導き出した。本研究は、対称拡散過程や飛躍型確率過程の場合に進められてきた安定性理論の統一版であると言える。この結果は、Z.Q. Chen氏とJ. Wang氏との共著論文にまとめ、2020年度に雑誌に掲載された。
２。木上は、自己相似集合の Ahlfors regular conformal dimensionと対応する無限グラフの parabolic index の関係および自己相似集合上への p-energy の構成について研究し、parabolic index とAhlfors regular conformal dimensionの間の不等式などを示した。
３。相川は、intrinsic ultracontractivity の研究を応用して、Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた。これは正値優調和関数の可積分性に関する結果の放物型拡張である。
４。福島はS. Junk氏と共同で，ランダム媒質中の向きづけられた高分子模型の零温度極限の研究を行い、自由エネルギーの連続性を示した。舟木は、Glauber-零レンジ過程から平均曲率運動の導出を行った。これは非線形な拡散項を経由するため偏微分方程式の観点からも新しい結果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
二次元一様全域木の上のランダムウォークの詳細な解析を行うことで、現在の世界的な潮流である「ランダム幾何学」に対して、「ランダム媒質の上の解析学」を展開することができた。複雑度の高いランダム媒質に関する当該研究は、研究代表者や分担者が１５年以上に渡って牽引している分野であるが、SLEなどとも関連して極めて重要なモデルである二次元一様全域木の解析をさらに深めたことは、大きな意義があると考える。また、一般の測度距離空間上の確率過程で、拡散項とジャンプの項を持つものについてDe Giorgi-Nash-Moser理論を構築したことは、熱核評価やHarnack不等式の安定性の観点からも大きな進展であると言える。
代表者や分担者は今年度も国内外での多くの研究集会に招待され、多くの国際共同研究を進めることができた。特に研究代表者は、フンボルト賞受賞の関係でドイツにのべ半年程度滞在し、研究の推進と国際的なネットワークの拡充を行うことができ、２０１９年は充実した一年であった。年度の終わりにコロナ禍のためいくつかの海外渡航を中止せざるを得なくなり、さらに翌年もコロナが続いたため、海外渡航や研究者招聘が全くできなくなったが、Zoomなどのオンラインを通じて共同研究を続ける方法を身につけ、国際共同研究を継続している。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究内容に関する方向性はこれまで通りであるが、すでに一年以上、コロナウイルス の影響で海外渡航や外国人招聘が全くできない状況が続いており、この報告書を作成している2021年4月現在（繰越を行ったために報告書の作成が一年ずれている）も変異種が猛威を奮い、先が見えない状況にある。
幸い、この一年間にZoom等のオンラインによる研究交流が確立し、共同研究者とも定期的に連絡をとり、共同研究を順調に進めることができている。オンラインにより、海外のセミナーや研究集会にも京都にいながら参加できるのは便利ではあるが、やはり実際に会って議論することで得られるものには及ばない。
昨年度は、本科研費に関連して開催予定であった国際研究集会はすべて延期となったが、今年度はオンラインハイブリッドによる国際研究集会を開催し、研究拠点としての役割を果たしたいと考えている。その際、国内の若手研究者が積極的に参加できる機会を増やせるよう努めたい。
研究面においては、昨年度は、自宅にいる時間が長くなった分進行中であった共同研究をいくつもまとめ上げることができた。今年度はオンラインでの研究集会でさらに積極的に講演し、また共同研究者とオンラインで密に議論をすることで、新たな研究を切り開いて行く予定である。
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