2020 Fiscal Year Annual Research Report
確率微分方程式モデルに基づく数理・データ科学とシミュレーション科学の融合的研究
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17H01100
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
内田 雅之 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (70280526)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清水 泰隆 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70423085)
林 高樹 慶應義塾大学, 経営管理研究科(日吉), 教授 (80420826)
小池 祐太 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80745290)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 数理統計学 / 確率過程 / リード・ラグ分析 / 高頻度データ / セミマルチンゲールの期待値汎関数 / 初期到達時刻分布 / 高頻度データ / 統計的機械学習 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，(i) エルゴード的拡散過程における適応型仮説検定問題，(ii) 一般的な確率変数に対する汎関数推定量の漸近分布，(iii) 深層ニューラルネットワークによる確率過程のパラメータ推定，(iv) 先行遅行関係の検定手法，について研究を行った．詳細は次の通りである．
(i) 高頻度データを用いて，エルゴード的拡散過程のドリフトパラメータとボラティリティパラメータの適応型検定統計量を構成し，それらの漸近分布を導出した．また適応型仮説検定の一致性を証明した．
(ii) Malliavin解析の手法を回避することにより，セミマルチンゲールを含むより一般的な確率変数に対する汎関数推定量の漸近分布を求めるための簡便な十分条件を発見し，その漸近分布を計算可能な形で示した．
(iii) 深層ニューラルネットワークによってエルゴード的拡散過程のドリフト係数を推定する方法について研究した．先行研究では，独立同分布観測に基づいて回帰関数をノンパラメトリック推定する問題において，推定量として深層ニューラルネットワークを用いた際の推定誤差のバウンドが導出されているが，拡散過程の長期高頻度観測からドリフト係数を推定するという文脈においても，類似の推定誤差のバウンドが正当化できることを示した．
(iv) 2017~2018年度の研究において導入した，複数の時間スケールに異なる種類のリード・ラグ関係が存在することを許す確率過程モデルにおいて，時間スケールごとにリード・ラグ関係が有意に存在するか否かを検定する方法を研究した．検定統計量を提案し，数値シミュレーションにおいてはうまく機能していることを確認した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでに，高頻度データに基づく確率微分方程式モデルにおける適応型推測法やハイブリッド型推測法の開発およびその数学的正当化を行った．また，確率微分方程式モデルにおける変化点検出に適応型検定法が適用可能であることがわかり，高頻度データに基づいたエルゴード的拡散過程のボラティリティパラメータやドリフトパラメータの変化点検出のための適応型検定統計量を構成した．そして，数値シミュレーションによって，提案した検定統計量の漸近挙動を検証しており，変化点問題の解決に向けて研究中である．さらに，高頻度データ解析に対する理論研究だけでなく，数理ファイナンスや保険数理分野への応用研究も順調である．リード・ラグ研究の具体的応用先である金融証券市場の価格形成に対する実証的理解を深める目的で，高頻度データを用いた協調フィルタリングを市場クオリティ(ボラティリティや流動性)の評価に応用する研究を行っている．また，死亡率の予測問題への応用として，従来実務で用いられてきた古典的なLee-Carterモデルとは全く異なる新しい予測モデルを開発し，その予測力について研究した．具体的には，人間の死亡時刻をある種の確率微分方程式の解過程によるゼロへの初期到達時刻としてモデリングすることにより，コホート別の死亡時刻分布のパラメトリック族を提案した．実データ解析の結果，従来法より高い予測力を持つことがわかった．さらなる改善に向けて研究中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
高頻度データに基づくエルゴード的拡散過程モデルや非エルゴード的拡散過程モデル，観測ノイズ付き拡散過程モデルに対する未知パラメータの推測問題に加えて，エルゴード的拡散過程モデルの変化点問題に対しても，適応型推測法が有効であることがわかった．高頻度データに基づくエルゴード的拡散過程モデルの変化点の検定問題では，(i) ボラティリティパラメータに対する変化点検出のための仮説検定，(ii) ボラティリティパラメータが変化するとは言えない場合のドリフトパラメータに対する変化点検出のための適応型仮説検定，(iii) ボラティリティパラメータが変化する場合のドリフトパラメータに対する変化点検出のための適応型仮説検定について考察する必要がある．今後は(iii)に対する検定統計量の漸近的性質や変化時刻の推定量の構成およびその数学的正当化について研究する．具体的には，構成した検定統計量の帰無仮説の下での漸近分布を導出し，検定の一致性を示す．また，変化点が検出された場合の変化時刻の推定を行う．ドリフトパラメータの変化時刻に対する適応型疑似尤度関数を構成し，適応型疑似最尤推定量を導出する．パラメータの変化が小さい場合と大きい場合では，変化時点の適応型疑似最尤推定量の漸近的性質は異なると予想している．さらに，エルゴード的拡散過程の変化時点の適応型推定法の有効性を確認するために，計算機による大規模数値シミュレーションにより，提案した適応型疑似最尤推定量の漸近挙動を検証する．
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