2017 Fiscal Year Annual Research Report
モデル縮減に基づく新世代高速構造保存数値計算法の創出
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17H02826
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
松尾 宇泰 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (90293670)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
相島 健助 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 特任講師 (40609658)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数値解析 / モデル縮減 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
現代科学・工学では，微分方程式の数値計算に基づくシミュレーションが必須であるが，扱う問題が飛躍的に大規模化する一方，ムーアの法則の終焉により，並列(高性能) 計算のみに頼った性能向上は以前ほど望めなくなっている．本研究は，この状況を本質的に打開するために，数値解析学における最先端の２大トレンド，「構造保存数値解法：方程式の数理構造を活用することで物理的に適切な数値解を保証する手法」，および「モデル縮減法：大規模方程式を低次元近似することで数理的に計算量を削減する手法」を組み合わせ，数理的手法により，物理的に正しい数値シミュレーションを高速に行う，新しい数値計算法の枠組を創出することを目指す．
平成29年度は，まず非線形シュレディンガー方程式に対してSymplecticモデル縮減法を適用し，良好に動作することを確かめた．またカーン・ヒリヤド方程式など散逸型の方程式に対して，最新の（非構造保存的）モデル縮減法をいくつか実装し，それらの有効性をある程度確認した上で，構造保存的でないモデル減ではこれらの方程式のモデル縮減に限界があることを初めて明らかにした．以上の成果は，「構造保存的モデル縮減」という考え方がモデル縮減においては必須であり，その方向の研究が望まれることを改めて示すものである．また動的モード分解法について検証し，その新しい拡張を与えた．さらに，一般線形系に対するある種の乱択アルゴリズムについて，初めて理論的収束証明を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初想定した初年度下調査が順調に進展した．また，計画時にまだ判明していなかった最新アルゴリズムについても調査の上本研究のスコープに加え，研究の全体像がより明確になった．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度の下調査結果には，肯定的な結果（Hamilton偏微分方程式に対してある種の構造保存解法がうまく働く）と否定的な結果（散逸型偏微分方程式に対しては，構造保存的でないモデル縮減が働かない）の両方が含まれている．また，構造保存的モデル縮減法はまだ手法として限定的である．
以上の背景を踏まえて，今後は (1) まだカバーされていない偏微分方程式クラスを中心に，新規に構造保存的モデル縮減法を与えること，および (2) それらを実際の問題に適用して，構造保存的であればモデル縮減がうまく働くのか，問題によってはそれでも足りないの以下を明らかにしていく．
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