2019 Fiscal Year Annual Research Report
A study of general members of linear systems via the theory of F-singularities
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17H02831
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 大域的F分裂多様体 / 秋月・中野の消滅定理 / ファノ多様体 / 正標数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正標数では小平型の消滅定理に反例があることが知られているが、正標数でも大域的F分裂多様体上では小平の消滅定理が成り立つ。小平の消滅定理の拡張である秋月・中野の消滅定理も大域的F分裂多様体上で成り立つことが期待されるが、このような微分形式の層を係数とするコホモロジーの消滅定理についてはほとんど何も知られていなかった。佐藤謙太氏との共同研究において研究代表者は、孤立特異点しか持たない3次元大域的F正則多様体上の非常に豊富な直線束に対し、秋月・中野の消滅定理が成り立つことを証明した。大域的F正則多様体とは、大域的F分裂多様体の特別なクラスであり、ファノ多様体と密接に関係している。この消滅定理の応用として、高々通常二重点しか持たない3次元大域的F分裂ファノ多様体の平坦変形に関する結果を得た。これは並河良典の結果の正標数への拡張に当たる（正標数還元を用いて、並河の結果の純代数的な別証明を与えることができる）。
研究分担者である中村は、超局面の有限商に関し双有理幾何不変量を計算し、下半連続性など基本的なことを証明した。また、Birkar氏によりログ対の一般化を研究し、2次元のACC予想およびLSC予想を研究した。
研究分担者である權業は、Sung Rak Choi氏との共同研究で、高余次元の動的曲線の錐に対する森・Batyrev型の錐定理を調べた。また標数0の多様体を固定したとき、十分大きな標数への還元上で極小モデル理論が機能するか考察した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題では、大域的F正則多様体上の豊富なCartier因子がなす線型系の一般元の性質を調べるために、大域的F正則多様体上でどのようなコホモロジーの消滅定理が成り立つか研究している。2017年度には、小平の消滅定理の拡張であるKollarの単射性定理が大域的F正則多様体上で成り立つことを証明した。そして今年度は、小平の消滅定理の別の拡張である秋月・中野の消滅定理（の弱形）が3次元大域的F正則多様体上で成り立つことを証明することに成功した。さらには、この秋月・中野の消滅定理を用いて、3次元大域的F分裂ファノ多様体の変形に関する結果を得た。正標数のファノ多様体の変形についてはほとんど何も知られておらず、大変面白い応用だと思われる。新型コロナウイルス感染症拡大の影響で幾つかの研究成果発表がとりやめになったものの、成果は確実に得られており、研究はおおむね順調に進展していると言えるだろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度は、秋月・中野の消滅定理を応用して、高々通常二重点しか持たない3次元大域的F分裂ファノ多様体平坦変形に関する結果を得た。この結果を、多様体が完全交叉特異点しか持たない場合に拡張したい。そのために、昨年度得られた秋月・中野の消滅定理の対数版について研究する。
また昨年度は、非常に豊富な直線束に対して秋月・中野の消滅定理を証明したが、これを豊富な直線束の場合に拡張したい。この問題は藤田予想と密接に関係している。最近、Yi Gu-Lei Zhang-Yongming Zhangによって正標数では藤田予想に反例があることがわかったが、大域的F正則多様体上では藤田予想が成立する可能性があると期待している。まずは2次元の場合に考察する。
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