A study of general members of linear systems via the theory of F-singularities

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17H02831
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Takagi Shunsuke 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210) ; 中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 特異点 / F特異点 / 正標数 / 可換環論 / 極小モデル理論 / ファノ多様体 / 変形

Outline of Final Research Achievements

In this research project, we mainly studied the deformations of algebraic varieties and singularities defined over a field of positive characteristic. We have two main results. (i) We proved vanishing theorems on globally F-split and globally F-regular varieties and used them to study the flat deformation of a globally F-split Fano 3-fold. (ii) We studied the deformations of F-pure and F-regular singularities. We proved if there exists a single prime number p such that the modulo p reduction of a Q-Gorenstein normal singularity (X, x) is F-pure, then (X,x) is log canonical.

Free Research Field

代数幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ホッジ理論などの解析的手法が使えないことから、正標数のファノ多様体の変形についてはほとんど何もわかっていなかった．大域F分裂多様体の枠組みで問題を考えることで，標数0の結果を含意するような正標数の結果を得ることに成功した．
対数標準特異点は極小モデル理論に現れる特異点の中で最も広いクラスであるが，特異点解消を用いて定義されるため，与えられた特異点が対数標準特異点かどうか判定することは難しかった．しかし，本研究成果によって，計算ソフトウェアを使って確認できる十分条件が得られた．