2017 Fiscal Year Annual Research Report
Towards the theory of Algbebraic Symplectic Geometry
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17H02833
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
並河 良典 京都大学, 理学研究科, 教授 (80228080)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | シンプレクティック特異点 / ポアソン変形 / 双有理幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アファインで特異点を持ったシンプレクティック多様体について研究した. 特に良い C^*-作用をもったアファインシンプレクティック多様体のことを錐的シンプレクティック多様体とよぶ. 箙多様体、超トーリック多様体、シンプレクティック商特異点, 複素半単純リー環のべき零軌道閉包の正規化などはみな錐的シンプレクティック多様体の例であり、代数幾何, 幾何学的表現論の観点から面白い対象である.ここ数年間は錐的シンプレクティック多様体の分類に向けて研究を行ってきた.最初におこなったのは錐的シンプレクティック多様体の座標環に注目して極大ウエイトという概念を足がかりにして分類の基礎を構築することであった.特に次元と極大ウエイトを固定すると、錐的シンプレクティック多様体の同型類は高々有限個しか存在しないことが示せた.そこでは次元が１つ下がった接触構造を持ったklt特異点つき対数的ファノ多様体を考えることが鍵になった.
この分類方針からすると、極大ウエイトは１の場合は最初に克服すべき課題であった.昨年度得た主結果は、極大ウエイトが1であるような特異点を持った錐的シンプレクティック多様体は,複素半単純リー環のべき零軌道閉包に限るというものであった.ここで現れるべき零軌道は, 閉包を取ると正規多様体になるものだけであったが,べき零軌道の中には閉包を取ると正規にならないものも存在する.これらの正規化は錐的シンプレクティック多様体であるが, 一般に極大ウエイトは２以上である.そこで今年度は主結果をべき零軌道閉包の正規化、有限被覆にまで拡張することを試みた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
錐的シンプレクティック多様体をポアソン変形と双有理幾何の観点から研究してきた.現在までに得られた成果は,1) シンプレクティック特異点解消の普遍ポアソン変形とワイル群を用いた錐的シンプレクティック多様体自身の普遍ポアソン変形の記述, ２）普遍ポアソン変形の discriminant locus の超平面配置とシンプレクティック特異点解消の双有理幾何との関係, 3)極大ウエイトを用いた錐的シンプレクティック多様体の有限性定理の定式化, 4)べき零軌道閉包の特徴付け等が現在まで煮えられた成果である.
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| Strategy for Future Research Activity |
べき零軌道閉包の特徴つけをさらに発展させて錐的シンプレクティック多様体の分類のより深い知見を得ることを目標にして研究してきたが, より新しい視点がないと大きな進展は望めない感じがある. 今後は、シンプレクティック特異点解消のシンプレクティック双対性, ミラー対称性等の新しい視点から錐的シンプレクティック多様体を見つめなおすべきだと感じている.
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