2018 Fiscal Year Annual Research Report
New developments in arithmetic invariant theory
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17H02835
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
谷口 隆 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (60422391)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 数論的不変式論 / 概均質ベクトル空間 / 余正則空間 / 解析数論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Manjul Bhargava 氏（プリンストン大）、Frank Thorne 氏（南カロライナ大）との共同研究で、３次体の判別式を数える関数の漸近公式の誤差項について、更なる研究を進めた。局所条件をつけたときの一様評価について詳しく研究し、緻密な成果を得た。厳密な証明を構成するのは労力を要したが、最終的に見通しの良い証明を得たことで、より複雑な場合にも適用可能な方法になったと考えられる。現在、論文を執筆中である。また、４次体の場合の同様の問題についても研究を進めた。
平面４次曲線の双接線に関する共同研究を、石塚裕大氏（京都大）、伊藤哲史氏（京都大）、内田幸寛氏（首都大），大下達也氏（愛媛大）と行った。「双接線の存在条件が局所大域性を満たすか」という問題を考察し、一般には局所大域性を満たさないことを示すことができた。すなわち、有理数体上の平面4次曲線であって、有理数体上は双接線を持たないが，実数体上およびすべてのp進体上で双接線を持つものが存在することを示した。また、そのような平面4次曲線を具体的に計算するアルゴリズムを得た。この成果についても、現在、論文を執筆中である。
余正則空間に伴って定まる指数和についても、研究を継続している。 Frank Thorne 氏（南カロライナ大）、 Stanley Xiao 氏（トロント大）、伊藤哲史氏（京都大）、石塚裕大氏（京都大）との共同研究で、２元４次形式の空間の場合を中心として、幾つかの成果を得ている。引き続き研究を推進する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
数論的不変式論に関する成果が、幾つかの側面から得られているため。
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| Strategy for Future Research Activity |
余正則空間の指数和について、不変式論的な見地から、重点的に研究を進める。また、数論的不変式論の数論的な応用について、引き続き多面的に検討する。
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